Номер 4, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-3)$ и $f(1{,}5)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: а) $f(x) = -1$; б) $f(x) = 4$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

1) Для нахождения значений функции необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$.

Чтобы найти $f(-3)$, сравним аргумент с $-1$. Так как $-3 < -1$, используем первую формулу $f(x) = x + 2$:
$f(-3) = -3 + 2 = -1$.

Чтобы найти $f(1,5)$, сравним аргумент с $-1$. Так как $1,5 \ge -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$:
$f(1,5) = (1,5)^2 = 2,25$.

Ответ: $f(-3) = -1$; $f(1,5) = 2,25$.

2) График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график линейной функции $y = x + 2$ на промежутке $x < -1$. Это луч, выходящий из точки с абсциссой $x = -1$. Найдем ординату этой точки: $y = -1 + 2 = 1$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая"). Для построения луча возьмем еще одну точку, например, $x = -3$, тогда $y = -3 + 2 = -1$. Итак, первая часть графика – это луч, проходящий через точку $(-3, -1)$ и заканчивающийся в выколотой точке $(-1, 1)$.

Вторая часть – это график квадратичной функции $y = x^2$ на промежутке $x \ge -1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значение в граничной точке $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Поскольку неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от первой части графика, делая функцию непрерывной. Другие точки этой части параболы: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

Таким образом, график функции представляет собой луч, идущий из точки $(-1, 1)$ влево и вниз, и часть параболы, начинающуюся в той же точке $(-1, 1)$, проходящую через начало координат и идущую вправо и вверх.

3) Используем аналитическое решение, которое соответствует нахождению точек пересечения графика функции с горизонтальными прямыми.

а) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = -1$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x < -1$, то $x + 2 = -1$, откуда $x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
2. Если $x \ge -1$, то $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, $f(x) = -1$ при $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

б) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 4$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x < -1$, то $x + 2 = 4$, откуда $x = 2$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -1$.
2. Если $x \ge -1$, то $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. Значение $x=2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, а $x=-2$ — нет.
Следовательно, $f(x) = 4$ при $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек этой прямой с графиком функции $f$ равно количеству корней уравнения $f(x) = a$. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$, двигая прямую $y = a$ снизу вверх.

– При $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает только луч $y=x+2$ в одной точке.
– При $a = 0$, прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает луч в точке $(-2, 0)$ и касается параболы в ее вершине $(0, 0)$. Таким образом, имеем ровно две общие точки.
– При $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает луч $y=x+2$ в одной точке (т.к. $a < 1$) и пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках (при $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$, оба корня удовлетворяют условию $x \ge -1$, так как $0 < \sqrt{a} < 1$). Всего получаем три общие точки.
– При $a = 1$, прямая $y=1$ проходит через точку "стыка" $(-1, 1)$ и пересекает параболу еще раз в точке $(1, 1)$. Таким образом, имеем ровно две общие точки.
– При $a > 1$, прямая $y=a$ не пересекает луч $y=x+2$ (так как все его значения $y < 1$) и пересекает параболу $y=x^2$ в одной точке с абсциссой $x = \sqrt{a}$ (корень $x = -\sqrt{a}$ не подходит, так как $-\sqrt{a} < -1$). Всего получаем одну общую точку.

Таким образом, прямая $y = a$ имеет с графиком функции ровно две общие точки при $a = 0$ и $a = 1$.

Ответ: $a=0$; $a=1$.