Номер 5, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{8x + 16}{x^2 + 2x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{8x + 16}{x^2 + 2x}$ сначала найдем её область определения и упростим выражение.

Знаменатель дроби $x^2 + 2x$ обращается в ноль при $x(x+2) = 0$, то есть при $x=0$ и $x=-2$. Следовательно, область определения функции: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Упростим формулу функции, разложив числитель и знаменатель на множители: $f(x) = \frac{8(x + 2)}{x(x + 2)}$.

При $x \neq -2$ и $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$ и получить $f(x) = \frac{8}{x}$.

Таким образом, график функции $f(x)$ представляет собой гиперболу $y = \frac{8}{x}$ с "выколотой" точкой при $x = -2$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное выражение: $y = \frac{8}{-2} = -4$. Значит, график функции $f(x)$ — это гипербола $y = \frac{8}{x}$ без точки $(-2, -4)$. Асимптотами графика являются оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Далее определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком функции $f(x)$ единственную общую точку. Прямая $y = kx$ представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат $(0,0)$.

Количество общих точек находится из решения уравнения $f(x) = kx$, то есть $\frac{8}{x} = kx$, при учете ограничений области определения $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Преобразуем уравнение: $kx^2 = 8$.

Если $k \le 0$, то левая часть уравнения ($kx^2$) неположительна, а правая (8) положительна. В этом случае действительных решений нет, и, следовательно, нет и общих точек.

Если $k > 0$, уравнение $x^2 = \frac{8}{k}$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{\frac{8}{k}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{8}{k}}$. Это значит, что прямая $y=kx$ (при $k>0$) пересекает гиперболу $y=\frac{8}{x}$ в двух точках. Чтобы у прямой была только одна общая точка с графиком функции $f(x)$, одна из точек пересечения должна совпадать с "выколотой" точкой $(-2, -4)$. Это означает, что один из найденных корней должен быть равен $-2$.

Приравняем корень $x_2$ к $-2$: $-\sqrt{\frac{8}{k}} = -2$ $\sqrt{\frac{8}{k}} = 2$ $\frac{8}{k} = 4$ $k = 2$.

При $k=2$ прямая $y=2x$ проходит через "выколотую" точку $(-2, -4)$, так как $-4 = 2 \cdot (-2)$. Второй точкой пересечения этой прямой с гиперболой $y=\frac{8}{x}$ будет точка с абсциссой $x=2$ (из $x=\pm 2$). Эта точка $(2, 4)$ принадлежит графику функции $f(x)$. Таким образом, при $k=2$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку.

Ответ: $k=2$.