Номер 5, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{6x - 18}{x^2 - 3x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Построение графика функции $f(x) = \frac{6x - 18}{x^2 - 3x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 3x \neq 0$ $x(x - 3) \neq 0$ Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, разложив на множители числитель и знаменатель: $f(x) = \frac{6(x - 3)}{x(x - 3)}$ Поскольку $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$: $f(x) = \frac{6}{x}$

3. График функции $f(x)$ совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$ на всей области определения, то есть это гипербола с "выколотой" точкой при $x=3$.

4. Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x=3$ в упрощенную формулу функции: $y = \frac{6}{3} = 2$ Следовательно, точка с координатами $(3; 2)$ не принадлежит графику.

5. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для построения можно использовать несколько точек, например, $(1; 6), (2; 3), (6; 1), (-1; -6), (-2; -3), (-6; -1)$. На полученном графике нужно отметить выколотую точку $(3; 2)$.

Определение значений k, при которых прямая $y = kx$ имеет с графиком функции f единственную общую точку

Прямая $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Количество общих точек прямой и графика функции $f(x)$ равно количеству решений системы уравнений: $ \begin{cases} y = f(x) \\ y = kx \end{cases} $ На области определения функции $f(x)$ это эквивалентно системе: $ \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = kx \end{cases} $ с дополнительным условием $x \neq 3$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $kx = \frac{6}{x}$ Умножим обе части на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$): $kx^2 = 6$

Проанализируем количество решений этого уравнения в зависимости от параметра $k$:

• Если $k \le 0$, то левая часть уравнения $kx^2$ будет неположительной ($kx^2 \le 0$), а правая часть равна 6. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, у прямой и графика нет общих точек.
• Если $k > 0$, то уравнение $x^2 = \frac{6}{k}$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{\frac{6}{k}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{6}{k}}$. Это означает, что прямая $y=kx$ пересекает гиперболу $y=\frac{6}{x}$ в двух точках.

Нам нужно, чтобы прямая имела с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку. Это возможно только в том случае, если одна из двух точек пересечения с гиперболой $y=\frac{6}{x}$ является выколотой точкой, то есть ее абсцисса равна 3.

Подставим $x=3$ в уравнение $kx^2 = 6$: $k \cdot (3)^2 = 6$ $9k = 6$ $k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

При $k=\frac{2}{3}$ (это значение больше нуля, что соответствует нашему случаю) уравнение для абсцисс точек пересечения $x^2 = \frac{6}{k}$ дает $x^2 = \frac{6}{2/3} = 9$. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

• Корень $x=3$ соответствует выколотой точке $(3; 2)$, поэтому он не является точкой пересечения с графиком $f(x)$.
• Корень $x=-3$ дает общую точку. Найдем ее ординату: $y = kx = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Эта точка $(-3; -2)$ принадлежит графику функции $f(x)$.

Таким образом, при $k=\frac{2}{3}$ прямая $y=kx$ проходит через выколотую точку $(3; 2)$ и имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку $(-3; -2)$.

Ответ: $\frac{2}{3}$