Номер 5, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, \text{ если } x < -1, \\ 1 - x, \text{ если } x \ge -1 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции, а затем определим, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ будет иметь с этим графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1 \\ 1-x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

График функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. При $x < -1$ функция задаётся формулой $f(x) = -\frac{2}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти (поскольку $x<0$ и $-2/x > 0$). Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика при $x \to -\infty$.
Найдём несколько точек для построения. Например, при $x=-2$, $y=1$; при $x=-4$, $y=0.5$.
На границе интервала, при $x=-1$, значение функции стремится к $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, 2)$ не принадлежит этой части графика, и на графике мы отметим её выколотой (пустым кружком).

2. При $x \ge -1$ функция задаётся формулой $f(x) = 1-x$. Графиком является луч.
Найдём координаты точек для построения этого луча. В начальной точке луча, при $x=-1$, имеем $y=1-(-1)=2$. Таким образом, точка $(-1, 2)$ принадлежит графику.
Возьмём ещё одну точку, например, при $x=1$, $y=1-1=0$. Прямая проходит через точки $(-1, 2)$ и $(1, 0)$.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Выколотая точка $(-1, 2)$ от гиперболы "закрывается" начальной точкой луча $(-1, 2)$. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=-1$. Точка $(-1, 2)$ является точкой максимума функции. График функции сначала возрастает на интервале $(-\infty, -1)$ от 0 до 2, а затем убывает на луче $[-1, \infty)$ от 2 до $-\infty$.

Определение значений $a$, при которых прямая $y=a$ имеет с графиком единственную общую точку

Прямая $y=a$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение $a$ на оси ординат. Количество общих точек этой прямой с графиком функции $f(x)$ зависит от положения прямой, то есть от значения $a$. Проанализируем это, используя построенный график.

• При $a > 2$: прямая $y=a$ проходит выше максимального значения функции, равного 2. Общих точек с графиком нет.
• При $a = 2$: прямая $y=2$ касается графика в его наивысшей точке $(-1, 2)$. Это единственная общая точка.
• При $0 < a < 2$: прямая $y=a$ пересекает и ветвь гиперболы, и луч. Таким образом, имеется две общие точки.
• При $a = 0$: прямая $y=0$ (ось $Ox$) пересекает луч $y=1-x$ в точке $(1, 0)$. Ветвь гиперболы $y = -2/x$ асимптотически приближается к оси $Ox$, но не пересекает её. Следовательно, имеется ровно одна общая точка.
• При $a < 0$: прямая $y=a$ пересекает только луч $y=1-x$, так как значения функции на ветви гиперболы всегда положительны. Следовательно, имеется ровно одна общая точка.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку, если она проходит через точку максимума ($a=2$) или если она проходит на уровне оси абсцисс или ниже ($a \le 0$).

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{2\}$.