Номер 5, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x < 1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Построение графика функции

Функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x < 1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Построим график, рассмотрев каждый участок отдельно.

1. При $x < 1$ функция имеет вид $f(x) = x + 3$. Графиком является прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Возьмём, например, $x = 0$, тогда $y = 3$, и $x = -3$, тогда $y = 0$. Получаем точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Найдём значение на границе интервала: при $x=1$, $y = 1+3=4$. Поскольку неравенство строгое ($x<1$), точка $(1, 4)$ не принадлежит этому участку графика, она является "выколотой". График на этом интервале — луч, заканчивающийся в точке $(1, 4)$.
2. При $x \ge 1$ функция имеет вид $f(x) = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Построим её по точкам:
   • если $x = 1$, то $y = \frac{4}{1} = 4$. Точка $(1, 4)$.
   • если $x = 2$, то $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$.
   • если $x = 4$, то $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(4, 1)$.
   Точка $(1, 4)$ принадлежит этому участку графика.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Он состоит из луча, который заканчивается в выколотой точке $(1, 4)$, и ветви гиперболы, которая начинается в этой же точке. Таким образом, график функции является непрерывной линией.

Определение значений параметра a

Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых эта прямая имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $a$.

• При $a > 4$: прямая $y=a$ проходит выше наивысшей точки графика $(1, 4)$, поэтому общих точек с графиком нет (0 пересечений).
• При $a = 4$: прямая $y=a$ проходит через точку $(1, 4)$, которая является точкой "стыка" двух частей графика. Это единственная общая точка (1 пересечение).
• При $0 < a < 4$: прямая $y=a$ пересекает как луч ($y=x+3$), так и ветвь гиперболы ($y=4/x$). Следовательно, имеется две общие точки (2 пересечения).
• При $a \le 0$: прямая $y=a$ пересекает только левую часть графика (луч $y=x+3$), поскольку правая часть (ветвь гиперболы $y=4/x$) при $x \ge 1$ принимает только положительные значения ($y>0$). В этом случае имеется ровно одна общая точка (1 пересечение).

Таким образом, график функции и прямая $y=a$ имеют единственную общую точку при $a = 4$ и при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{4\}$.