Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите среди данных функций обратную пропорциональность.

1) $y = 10x$

2) $y = \frac{x}{10}$

3) $y = \frac{10}{x}$

4) $y = 0,1x$

Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, при которой одна величина уменьшается во столько же раз, во сколько раз увеличивается другая. Математически она выражается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) Функция $y = 10x$ является прямой пропорциональностью, так как имеет вид $y = kx$ с коэффициентом $k=10$. При увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается.

2) Функция $y = \frac{x}{10}$ может быть записана как $y = \frac{1}{10}x$. Это также прямая пропорциональность вида $y = kx$ с коэффициентом $k=\frac{1}{10}$.

3) Функция $y = \frac{10}{x}$ точно соответствует формуле обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=10$. При увеличении $x$ значение $y$ будет уменьшаться.

4) Функция $y = 0,1x$ является прямой пропорциональностью вида $y = kx$ с коэффициентом $k=0,1$. Она идентична функции в пункте 2.

Следовательно, единственная функция, которая представляет собой обратную пропорциональность, — это функция под номером 3.

Ответ: 3

2. График какой из данных функций изображён на рисунке?

1) $y = \frac{3}{x}$

2) $y = \frac{1}{3x}$

3) $y = -\frac{3}{x}$

4) $y = -\frac{1}{3x}$

На рисунке изображен график функции, который является гиперболой. Общий вид уравнения такой функции: $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.

Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Это означает, что коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

Рассмотрим предложенные варианты:

1. $y = \frac{3}{x}$. Здесь $k=3 > 0$. График этой функции расположен в I и III четвертях. Вариант не подходит.
2. $y = \frac{1}{3x}$. Здесь $k=\frac{1}{3} > 0$. График этой функции также расположен в I и III четвертях. Вариант не подходит.
3. $y = -\frac{3}{x}$. Здесь $k=-3 < 0$. График этой функции расположен во II и IV четвертях. Этот вариант возможен.
4. $y = -\frac{1}{3x}$. Здесь $k=-\frac{1}{3} < 0$. График этой функции также расположен во II и IV четвертях. Этот вариант тоже возможен.

Чтобы выбрать между вариантами 3 и 4, найдем на графике точку с легко читаемыми координатами. Например, точка с координатами $(1, -3)$ принадлежит графику. Подставим эти координаты в оставшиеся два уравнения, чтобы проверить, какое из них верное.

Проверка для варианта 3) $y = -\frac{3}{x}$:

Подставляем $x=1$ и $y=-3$:

$-3 = -\frac{3}{1}$

$-3 = -3$

Равенство верное, значит, эта функция подходит.

Проверка для варианта 4) $y = -\frac{1}{3x}$:

Подставляем $x=1$ и $y=-3$:

$-3 = -\frac{1}{3 \cdot 1}$

$-3 = -\frac{1}{3}$

Равенство неверное.

Следовательно, на рисунке изображен график функции $y = -\frac{3}{x}$.

Ответ: 3

3. Дана функция $y = - \frac{28}{x}$.

Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно –4;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 14.

Дана функция $y = -\frac{28}{x}$.

1) значение функции, если значение аргумента равно -4;

Аргумент функции — это переменная $x$. Значение функции — это переменная $y$.
Чтобы найти значение функции при $x = -4$, подставим это значение в формулу:

$y = -\frac{28}{-4}$

При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число:

$y = \frac{28}{4}$

$y = 7$

Ответ: 7

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 14.

Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно 14, подставим $y = 14$ в формулу и решим получившееся уравнение:

$14 = -\frac{28}{x}$

Выразим из этого уравнения $x$. Для этого можно поменять местами $x$ и 14:

$x = -\frac{28}{14}$

Выполним деление:

$x = -2$

Ответ: -2

4. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-1,6; 7)$.

По условию задачи, график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-1,6; 7)$. Это означает, что координаты данной точки должны удовлетворять уравнению функции.

Подставим значения координат точки A, где $x = -1,6$ и $y = 7$, в уравнение функции:

$7 = \frac{k}{-1,6}$

Чтобы найти значение $k$, решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части уравнения на $-1,6$:

$k = 7 \times (-1,6)$

$k = -11,2$

Таким образом, при $k = -11,2$ график функции проходит через заданную точку.

Ответ: $-11,2$

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x < 1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Построение графика функции

Функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x < 1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Построим график, рассмотрев каждый участок отдельно.

1. При $x < 1$ функция имеет вид $f(x) = x + 3$. Графиком является прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Возьмём, например, $x = 0$, тогда $y = 3$, и $x = -3$, тогда $y = 0$. Получаем точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Найдём значение на границе интервала: при $x=1$, $y = 1+3=4$. Поскольку неравенство строгое ($x<1$), точка $(1, 4)$ не принадлежит этому участку графика, она является "выколотой". График на этом интервале — луч, заканчивающийся в точке $(1, 4)$.
2. При $x \ge 1$ функция имеет вид $f(x) = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Построим её по точкам:
   • если $x = 1$, то $y = \frac{4}{1} = 4$. Точка $(1, 4)$.
   • если $x = 2$, то $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$.
   • если $x = 4$, то $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(4, 1)$.
   Точка $(1, 4)$ принадлежит этому участку графика.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Он состоит из луча, который заканчивается в выколотой точке $(1, 4)$, и ветви гиперболы, которая начинается в этой же точке. Таким образом, график функции является непрерывной линией.

Определение значений параметра a

Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых эта прямая имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $a$.

• При $a > 4$: прямая $y=a$ проходит выше наивысшей точки графика $(1, 4)$, поэтому общих точек с графиком нет (0 пересечений).
• При $a = 4$: прямая $y=a$ проходит через точку $(1, 4)$, которая является точкой "стыка" двух частей графика. Это единственная общая точка (1 пересечение).
• При $0 < a < 4$: прямая $y=a$ пересекает как луч ($y=x+3$), так и ветвь гиперболы ($y=4/x$). Следовательно, имеется две общие точки (2 пересечения).
• При $a \le 0$: прямая $y=a$ пересекает только левую часть графика (луч $y=x+3$), поскольку правая часть (ветвь гиперболы $y=4/x$) при $x \ge 1$ принимает только положительные значения ($y>0$). В этом случае имеется ровно одна общая точка (1 пересечение).

Таким образом, график функции и прямая $y=a$ имеют единственную общую точку при $a = 4$ и при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{4\}$.