Страница 54 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Определите, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^2$.

1) A(-3; -9)

2) B(6; 12)

3) C(0,8; 6,4)

4) D($-\frac{1}{7}$; $\frac{1}{49}$)

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты (x; y) в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) A(-3; -9)

Подставим координаты точки A в уравнение функции $y = x^2$:

$-9 = (-3)^2$

$-9 = 9$

Равенство неверное, следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

2) B(6; 12)

Подставим координаты точки B в уравнение функции $y = x^2$:

$12 = 6^2$

$12 = 36$

Равенство неверное, следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

3) C(0,8; 6,4)

Подставим координаты точки C в уравнение функции $y = x^2$:

$6,4 = (0,8)^2$

$6,4 = 0,64$

Равенство неверное, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

4) D( $-\frac{1}{7}$; $\frac{1}{49}$ )

Подставим координаты точки D в уравнение функции $y = x^2$:

$\frac{1}{49} = \left(-\frac{1}{7}\right)^2$

$\frac{1}{49} = \frac{1}{49}$

Равенство верное, следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: 4) D( $-\frac{1}{7}$; $\frac{1}{49}$ )

2. Укажите все значения аргумента, при которых значение функции $y = x^2$ равно 16.

1) 256

2) -256 и 256

3) 4

4) -4 и 4

По условию задачи, нам необходимо найти все значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = x^2$ равно 16.

Для этого составим и решим уравнение, подставив $y = 16$ в заданную функцию:

$x^2 = 16$

Это квадратное уравнение. Чтобы найти значения $x$, нужно извлечь квадратный корень из 16. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) всегда имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

Применим это правило к нашему уравнению:

$x = \pm\sqrt{16}$

Вычисляем корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -4$

Таким образом, функция принимает значение 16 при двух значениях аргумента: 4 и -4. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту 4.

Ответ: -4 и 4

3. Решите графически уравнение $x^2 = -2x$.

Для того чтобы решить уравнение $x^2 = -2x$ графическим способом, необходимо представить левую и правую части уравнения в виде двух отдельных функций. Построим их графики в одной координатной плоскости. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться решениями уравнения.

Рассмотрим две функции:

1. $y = x^2$ (из левой части уравнения)

2. $y = -2x$ (из правой части уравнения)

Построение графика функции $y = x^2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения вычислим несколько точек:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$

Построение графика функции $y = -2x$

Графиком данной функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$
• при $x = -2$, $y = -2 \cdot (-2) = 4$

Нахождение точек пересечения

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = -2x$ на одной координатной плоскости. Из графика видно, что они пересекаются в двух точках:

Первая точка пересечения — начало координат $O(0, 0)$.

Вторая точка пересечения — точка $A(-2, 4)$.

Решениями уравнения являются абсциссы этих точек. Таким образом, корнями уравнения являются $x=0$ и $x=-2$.

Ответ: $-2; 0$.

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 2 \\ 6 - x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

1) Найдите $f(-0,5)$ и $f(3)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: a) $f(x) = -2$; б) $f(x) = 9$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

1) Найдите f(–0,5) и f(3).

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы найти значение функции в точке, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит аргумент.

Для нахождения $f(–0,5)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = –0,5$. Так как $–0,5 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(–0,5) = (–0,5)^2 = 0,25$.

Для нахождения $f(3)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = 3$. Так как $3 > 2$, мы используем вторую формулу: $f(x) = 6 – x$.
$f(3) = 6 – 3 = 3$.

Ответ: $f(–0,5) = 0,25$; $f(3) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График функции состоит из двух частей:

1. Для $x \le 2$ строим график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы берем только ту часть параболы, которая находится левее или в точке $x = 2$.
Найдем несколько точек для этой части графика:
$x = 2, y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
$x = 1, y = 1^2 = 1$.
$x = 0, y = 0^2 = 0$.
$x = -1, y = (-1)^2 = 1$.
$x = -2, y = (-2)^2 = 4$.

2. Для $x > 2$ строим график функции $y = 6 – x$. Это прямая линия. Мы берем только ту часть прямой, которая находится правее $x = 2$.
Найдем две точки для построения этой части графика (луча):
Найдем "начальную" точку при $x = 2$: $y = 6 – 2 = 4$. Точка $(2, 4)$ является началом луча, но сама точка не включается (выколотая), так как условие строгое ($x > 2$). Однако, так как эта точка $(2, 4)$ является концом первой части графика, функция является непрерывной в этой точке.
Возьмем еще одну точку, например, $x = 6$: $y = 6 – 6 = 0$. Точка $(6, 0)$ принадлежит графику.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график. Он представляет собой часть параболы, переходящую в точке $(2, 4)$ в луч, направленный вниз и вправо.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: а) f(x) = –2; б) f(x) = 9.

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно некоторому числу, нужно найти точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой.

а) $f(x) = –2$
Проведем горизонтальную прямую $y = –2$. Эта прямая не пересекает параболу $y = x^2$, так как $x^2 \ge 0$.
Найдем точку пересечения с лучом $y = 6 – x$ (для $x > 2$):
$6 – x = –2$
$x = 6 + 2$
$x = 8$
Значение $x = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: $x = 8$.

б) $f(x) = 9$
Проведем горизонтальную прямую $y = 9$.
Найдем точки пересечения с параболой $y = x^2$ (для $x \le 2$):
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = –3$
Условию $x \le 2$ удовлетворяет только $x = –3$.
Найдем точку пересечения с лучом $y = 6 – x$ (для $x > 2$):
$6 – x = 9$
$x = 6 – 9$
$x = –3$
Это значение не удовлетворяет условию $x > 2$.
Следовательно, есть только одно решение.
Ответ: $x = –3$.

4) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком функции f ровно две общие точки.

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y = a$ с графиком функции $f(x)$ в зависимости от значения $a$.
График имеет вершину (локальный минимум) в точке $(0, 0)$ и точку "излома" (локальный максимум) в точке $(2, 4)$.

• При $a < 0$ прямая $y = a$ пересекает только луч $y = 6 - x$, поэтому будет одна точка пересечения.
• При $a = 0$ прямая $y = 0$ касается параболы в ее вершине $(0, 0)$ и пересекает луч в точке $(6, 0)$. Таким образом, получаем две общие точки.
• При $0 < a < 4$ прямая $y = a$ пересекает левую ветвь параболы, правую ветвь параболы (обе для $x \le 2$) и луч. Всего будет три точки пересечения.
• При $a = 4$ прямая $y = 4$ пересекает параболу в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Точка $(2, 4)$ также является начальной точкой для луча. Таким образом, получаем две общие точки: $x=-2$ и $x=2$.
• При $a > 4$ прямая $y = a$ пересекает только левую ветвь параболы (так как для правой ветви $x = \sqrt{a} > 2$, что не входит в область определения этой части функции). С лучом пересечений нет. Следовательно, будет одна точка пересечения.

Таким образом, прямая $y = a$ имеет с графиком ровно две общие точки при $a=0$ и $a=4$.

Ответ: $a = 0; a = 4$.