Номер 4, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 2 \\ 6 - x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

1) Найдите $f(-0,5)$ и $f(3)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: a) $f(x) = -2$; б) $f(x) = 9$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

1) Найдите f(–0,5) и f(3).

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы найти значение функции в точке, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит аргумент.

Для нахождения $f(–0,5)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = –0,5$. Так как $–0,5 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2$.
$f(–0,5) = (–0,5)^2 = 0,25$.

Для нахождения $f(3)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = 3$. Так как $3 > 2$, мы используем вторую формулу: $f(x) = 6 – x$.
$f(3) = 6 – 3 = 3$.

Ответ: $f(–0,5) = 0,25$; $f(3) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График функции состоит из двух частей:

1. Для $x \le 2$ строим график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы берем только ту часть параболы, которая находится левее или в точке $x = 2$.
Найдем несколько точек для этой части графика:
$x = 2, y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
$x = 1, y = 1^2 = 1$.
$x = 0, y = 0^2 = 0$.
$x = -1, y = (-1)^2 = 1$.
$x = -2, y = (-2)^2 = 4$.

2. Для $x > 2$ строим график функции $y = 6 – x$. Это прямая линия. Мы берем только ту часть прямой, которая находится правее $x = 2$.
Найдем две точки для построения этой части графика (луча):
Найдем "начальную" точку при $x = 2$: $y = 6 – 2 = 4$. Точка $(2, 4)$ является началом луча, но сама точка не включается (выколотая), так как условие строгое ($x > 2$). Однако, так как эта точка $(2, 4)$ является концом первой части графика, функция является непрерывной в этой точке.
Возьмем еще одну точку, например, $x = 6$: $y = 6 – 6 = 0$. Точка $(6, 0)$ принадлежит графику.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график. Он представляет собой часть параболы, переходящую в точке $(2, 4)$ в луч, направленный вниз и вправо.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: а) f(x) = –2; б) f(x) = 9.

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно некоторому числу, нужно найти точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой.

а) $f(x) = –2$
Проведем горизонтальную прямую $y = –2$. Эта прямая не пересекает параболу $y = x^2$, так как $x^2 \ge 0$.
Найдем точку пересечения с лучом $y = 6 – x$ (для $x > 2$):
$6 – x = –2$
$x = 6 + 2$
$x = 8$
Значение $x = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: $x = 8$.

б) $f(x) = 9$
Проведем горизонтальную прямую $y = 9$.
Найдем точки пересечения с параболой $y = x^2$ (для $x \le 2$):
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = –3$
Условию $x \le 2$ удовлетворяет только $x = –3$.
Найдем точку пересечения с лучом $y = 6 – x$ (для $x > 2$):
$6 – x = 9$
$x = 6 – 9$
$x = –3$
Это значение не удовлетворяет условию $x > 2$.
Следовательно, есть только одно решение.
Ответ: $x = –3$.

4) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком функции f ровно две общие точки.

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y = a$ с графиком функции $f(x)$ в зависимости от значения $a$.
График имеет вершину (локальный минимум) в точке $(0, 0)$ и точку "излома" (локальный максимум) в точке $(2, 4)$.

• При $a < 0$ прямая $y = a$ пересекает только луч $y = 6 - x$, поэтому будет одна точка пересечения.
• При $a = 0$ прямая $y = 0$ касается параболы в ее вершине $(0, 0)$ и пересекает луч в точке $(6, 0)$. Таким образом, получаем две общие точки.
• При $0 < a < 4$ прямая $y = a$ пересекает левую ветвь параболы, правую ветвь параболы (обе для $x \le 2$) и луч. Всего будет три точки пересечения.
• При $a = 4$ прямая $y = 4$ пересекает параболу в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Точка $(2, 4)$ также является начальной точкой для луча. Таким образом, получаем две общие точки: $x=-2$ и $x=2$.
• При $a > 4$ прямая $y = a$ пересекает только левую ветвь параболы (так как для правой ветви $x = \sqrt{a} > 2$, что не входит в область определения этой части функции). С лучом пересечений нет. Следовательно, будет одна точка пересечения.

Таким образом, прямая $y = a$ имеет с графиком ровно две общие точки при $a=0$ и $a=4$.

Ответ: $a = 0; a = 4$.