Номер 1, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Известно, что график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Через какую из данных точек при любых значениях $a$ и $b$ также проходит график функции $f$?

1) $A(2a; 2b)$

2) $B(a; -b)$

3) $C(-a; -b)$

4) $D(2a; 4b)$

По условию задачи, график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции. Если подставить в функцию $x=a$, то значение функции будет равно $b$.

Таким образом, мы имеем основное соотношение: $b = a^2$.

Теперь нам нужно проверить, какая из предложенных точек также будет принадлежать графику функции $f(x) = x^2$ при выполнении условия $b = a^2$. Для этого мы подставим координаты каждой точки в уравнение $y = x^2$ и проверим, выполняется ли равенство для любых $a$ и $b$, связанных соотношением $b = a^2$.

1) A(2a; 2b)

Подставляем координаты $x = 2a$ и $y = 2b$ в уравнение функции $y = x^2$:

$2b = (2a)^2$

$2b = 4a^2$

Теперь используем наше основное соотношение $b = a^2$ и подставляем его в полученное уравнение:

$2(a^2) = 4a^2$

$2a^2 = 4a^2$

Это равенство справедливо только в том случае, если $a = 0$ (и, соответственно, $b=0$). Поскольку оно должно выполняться для любых значений $a$ и $b$, удовлетворяющих исходному условию, этот вариант не является правильным.

2) B(a; -b)

Подставляем координаты $x = a$ и $y = -b$ в уравнение $y = x^2$:

$-b = a^2$

Используя $b = a^2$, получаем:

$-(a^2) = a^2$

$-a^2 = a^2$

Это равенство также справедливо только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) C(-a; -b)

Подставляем координаты $x = -a$ и $y = -b$ в уравнение $y = x^2$:

$-b = (-a)^2$

$-b = a^2$

Используя $b = a^2$, получаем:

$-(a^2) = a^2$

$-a^2 = a^2$

Это равенство справедливо только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

4) D(2a; 4b)

Подставляем координаты $x = 2a$ и $y = 4b$ в уравнение $y = x^2$:

$4b = (2a)^2$

$4b = 4a^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$b = a^2$

Полученное равенство $b = a^2$ является исходным условием, которое выполняется для любой точки $M(a; b)$ на графике. Это означает, что равенство $4b = (2a)^2$ будет верным всегда, когда точка $M(a; b)$ лежит на графике. Таким образом, точка $D(2a; 4b)$ также всегда будет лежать на графике функции $f(x)=x^2$.

Ответ: 4) D(2a; 4b).