Номер 4, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x < -2 \text{ или } x > 2, \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2. \end{cases}$

1) Найдите $f(-4)$ и $f(0,5)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором:
a) $f(x) = -2$;
б) $f(x) = 4$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

1) Найдите f(-4) и f(0,5).

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x < -2 \text{ или } x > 2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \end{cases}$

Для нахождения значения $f(-4)$, мы сначала определяем, какому из заданных промежутков принадлежит аргумент $x = -4$. Поскольку $-4 < -2$, мы используем первую формулу $f(x) = -\frac{8}{x}$. Подставляем $x = -4$: $f(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$.

Для нахождения значения $f(0,5)$, мы определяем, что аргумент $x = 0,5$ удовлетворяет условию $-2 \le 0,5 \le 2$. Следовательно, мы используем вторую формулу $f(x) = x^2$. Подставляем $x = 0,5$: $f(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: $f(-4) = 2$; $f(0,5) = 0,25$.

2) Постройте график данной функции.

График функции состоит из трех частей, построенных на разных интервалах.

1. На отрезке $[-2, 2]$ функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(-2) = (-2)^2 = 4$. $f(2) = (2)^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Концевые точки принадлежат графику.

2. На интервале $(-\infty, -2)$ функция задается формулой $f(x) = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. При приближении $x$ к $-2$ слева, значение $f(x)$ стремится к $-\frac{8}{-2} = 4$. Это означает, что эта ветвь гиперболы подходит к точке $(-2, 4)$, соединяясь с параболой. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$.

3. На интервале $(2, \infty)$ функция задается той же формулой $f(x) = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти. При приближении $x$ к $2$ справа, значение $f(x)$ стремится к $-\frac{8}{2} = -4$. Так как интервал строгий ($x > 2$), точка $(2, -4)$ не принадлежит графику и изображается "выколотой" (пустым кружком). При $x \to \infty$, $f(x) \to 0$.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором:

а) f(x) = -2

Чтобы найти значение аргумента, при котором $f(x) = -2$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = -2$. Из графика видно, что прямая $y = -2$ пересекает только одну ветвь графика — ветвь гиперболы при $x > 2$. Найдем эту абсциссу, решив уравнение: $-\frac{8}{x} = -2$ $8 = 2x$ $x = 4$ Это значение удовлетворяет условию $x > 2$.

Ответ: $x = 4$.

б) f(x) = 4

Чтобы найти значение аргумента, при котором $f(x) = 4$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = 4$. Прямая $y = 4$ пересекает график в двух точках. Обе эти точки являются концами дуги параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 2]$. Найдем их абсциссы из уравнения: $x^2 = 4$ $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Оба значения принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Ветвь гиперболы $y = -8/x$ при $x < -2$ также стремится к значению $y=4$ при $x \to -2$, что соответствует уже найденной точке $x=-2$.

Ответ: $x = -2; x = 2$.

4) Определите, при каких значениях а прямая y = a будет иметь с графиком функции f единственную общую точку.

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y = a$ с графиком функции $f(x)$ в зависимости от параметра $a$.

- При $a > 4$: пересечений нет (0 точек).
- При $a = 4$: прямая касается параболы в двух точках $x=-2$ и $x=2$ (2 точки).
- При $0 < a < 4$: прямая пересекает параболу в двух точках и левую ветвь гиперболы в одной точке (3 точки).
- При $a = 0$: прямая пересекает график в одной точке — вершине параболы $x=0$ (1 точка).
- При $-4 < a < 0$: прямая пересекает только правую ветвь гиперболы в одной точке (1 точка).
- При $a = -4$: пересечений нет, так как точка на правой ветви гиперболы выколота.
- При $a < -4$: пересечений нет.

Единственная общая точка будет в двух случаях: 1. Когда $a = 0$. 2. Когда $-4 < a < 0$.

Объединяя эти два случая, получаем, что прямая $y=a$ имеет с графиком единственную общую точку при $a \in (-4, 0]$.

Ответ: $a \in (-4, 0]$.