Номер 1, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Известно, что график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Через какую из данных точек при любых значениях $a$ и $b$ также проходит график функции $f$?

1) $A(3a; 6b)$

2) $B(0,5a; 2,5b)$

3) $C(16a; 4b)$

4) $D(-a; b)$

По условию, график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции, то есть при подстановке абсциссы $x=a$ в функцию, мы получаем ординату $y=b$.

Следовательно, для точки $M$ выполняется равенство: $b = a^2$.

Теперь необходимо проверить, какая из предложенных точек также будет лежать на графике функции $f(x) = x^2$ при любых значениях $a$ и $b$, связанных соотношением $b = a^2$. Для этого мы будем подставлять абсциссу (координату x) каждой точки в уравнение функции $y=x^2$ и проверять, равно ли полученное значение ординате (координате y) этой точки.

1) A(3a; 6b)

Подставим абсциссу точки A, $x = 3a$, в уравнение функции: $y = (3a)^2 = 9a^2$.

Ордината точки A равна $6b$. Используя наше исходное условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $6a^2$.

Сравниваем полученное значение $y$ с ординатой точки: $9a^2$ и $6a^2$. Равенство $9a^2 = 6a^2$ верно только в том случае, если $a = 0$. Поскольку равенство должно выполняться при любых значениях $a$, этот вариант не подходит.

2) B(0,5a; 2,5b)

Подставим абсциссу точки B, $x = 0.5a$, в уравнение функции: $y = (0.5a)^2 = 0.25a^2$.

Ордината точки B равна $2.5b$. Используя условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $2.5a^2$.

Сравниваем: $0.25a^2$ и $2.5a^2$. Равенство $0.25a^2 = 2.5a^2$ верно только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) C(16a; 4b)

Подставим абсциссу точки C, $x = 16a$, в уравнение функции: $y = (16a)^2 = 256a^2$.

Ордината точки C равна $4b$. Используя условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $4a^2$.

Сравниваем: $256a^2$ и $4a^2$. Равенство $256a^2 = 4a^2$ верно только при $a = 0$. Этот вариант не подходит.

4) D(-a; b)

Подставим абсциссу точки D, $x = -a$, в уравнение функции: $y = (-a)^2 = a^2$.

Ордината точки D равна $b$.

Сравниваем полученное значение $y$ с ординатой точки: $a^2$ и $b$. Из начального условия мы знаем, что $b = a^2$. Таким образом, равенство $y = b$ выполняется для любых значений $a$. Это означает, что если точка $(a; b)$ лежит на графике, то и точка $(-a; b)$ также лежит на графике. Это является свойством четной функции, график которой симметричен относительно оси OY.

Ответ: 4