Номер 4, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите уравнение:

1) $x^2 = 1,21$;

2) $x^2 = 42$;

3) $x^2 = -81$;

4) $\sqrt{3x - 5} = 0$;

5) $\sqrt{3x - 5} = 0$;

6) $\sqrt{3x - 5} = 4$.

1) Дано уравнение $x^2 = 1,21$.
Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{1,21}$
Поскольку $1,1^2 = 1,21$, то $\sqrt{1,21} = 1,1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\pm 1,1$.

2) Дано уравнение $x^2 = 42$.
Аналогично предыдущему пункту, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{42}$
Число 42 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Ответ можно оставить в виде корня.
Ответ: $\pm\sqrt{42}$.

3) Дано уравнение $x^2 = -81$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. В данном уравнении требуется найти такое число $x$, квадрат которого равен отрицательному числу. В множестве действительных чисел такого числа не существует, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

4) Дано уравнение $\sqrt{3x} - 5 = 0$.
Это иррациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Теперь решим уравнение. Перенесем 5 в правую часть:
$\sqrt{3x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{3x})^2 = 5^2$
$3x = 25$
$x = \frac{25}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $\frac{25}{3} > 0$, корень подходит.
Ответ: $\frac{25}{3}$.

5) Дано уравнение $\sqrt{3x - 5} = 0$.
Определим ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$.
Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.
$3x - 5 = 0$
$3x = 5$
$x = \frac{5}{3}$
Найденный корень $x = \frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$).
Ответ: $\frac{5}{3}$.

6) Дано уравнение $\sqrt{3x - 5} = 4$.
Определим ОДЗ: $3x - 5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{3}$.
Правая часть уравнения ($4$) является положительным числом, поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{3x - 5})^2 = 4^2$
$3x - 5 = 16$
Перенесем -5 в правую часть, изменив знак:
$3x = 16 + 5$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $7 \ge \frac{5}{3}$, следовательно, корень является решением уравнения.
Ответ: $7$.