Номер 4, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите уравнение:

1) $x^2 = 1,44;$

2) $x^2 = 39;$

3) $x^2 = -100;$

4) $\sqrt{6x - 7} = 0;$

5) $\sqrt{6x - 7} = 0;$

6) $\sqrt{6x - 7} = 5.$

1) $x^2 = 1,44$

Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, имеет два корня.

$x = \pm\sqrt{1,44}$

Поскольку $1,2 \times 1,2 = 1,44$, то $\sqrt{1,44} = 1,2$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1,2$ и $x_2 = -1,2$.

Ответ: $\pm 1,2$.

2) $x^2 = 39$

Это квадратное уравнение. Извлекаем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$.

$x = \pm\sqrt{39}$

Число 39 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Ответ оставляем в таком виде.

Ответ: $\pm\sqrt{39}$.

3) $x^2 = -100$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-100$). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.

4) $\sqrt{6x} - 7 = 0$

Это иррациональное уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой подкоренное выражение неотрицательно.

$6x \ge 0 \implies x \ge 0$

Теперь решим уравнение. Изолируем радикал, перенеся 7 в правую часть:

$\sqrt{6x} = 7$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x})^2 = 7^2$

$6x = 49$

$x = \frac{49}{6}$

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $\frac{49}{6} > 0$, корень подходит.

Ответ: $\frac{49}{6}$.

5) $\sqrt{6x - 7} = 0$

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$6x - 7 \ge 0 \implies 6x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{6}$

Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.

$6x - 7 = 0$

$6x = 7$

$x = \frac{7}{6}$

Найденный корень $x = \frac{7}{6}$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge \frac{7}{6}$).

Ответ: $\frac{7}{6}$.

6) $\sqrt{6x - 7} = 5$

ОДЗ для этого уравнения такое же, как и в предыдущем пункте: $x \ge \frac{7}{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{6x - 7})^2 = 5^2$

$6x - 7 = 25$

Решаем полученное линейное уравнение:

$6x = 25 + 7$

$6x = 32$

$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Нам нужно сравнить $\frac{16}{3}$ и $\frac{7}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{16}{3} = \frac{32}{6}$. Так как $\frac{32}{6} \ge \frac{7}{6}$, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{16}{3}$.