Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Известно, что график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Через какую из данных точек при любых значениях $a$ и $b$ также проходит график функции $f$?

1) $A(3a; 6b)$

2) $B(0,5a; 2,5b)$

3) $C(16a; 4b)$

4) $D(-a; b)$

По условию, график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции, то есть при подстановке абсциссы $x=a$ в функцию, мы получаем ординату $y=b$.

Следовательно, для точки $M$ выполняется равенство: $b = a^2$.

Теперь необходимо проверить, какая из предложенных точек также будет лежать на графике функции $f(x) = x^2$ при любых значениях $a$ и $b$, связанных соотношением $b = a^2$. Для этого мы будем подставлять абсциссу (координату x) каждой точки в уравнение функции $y=x^2$ и проверять, равно ли полученное значение ординате (координате y) этой точки.

1) A(3a; 6b)

Подставим абсциссу точки A, $x = 3a$, в уравнение функции: $y = (3a)^2 = 9a^2$.

Ордината точки A равна $6b$. Используя наше исходное условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $6a^2$.

Сравниваем полученное значение $y$ с ординатой точки: $9a^2$ и $6a^2$. Равенство $9a^2 = 6a^2$ верно только в том случае, если $a = 0$. Поскольку равенство должно выполняться при любых значениях $a$, этот вариант не подходит.

2) B(0,5a; 2,5b)

Подставим абсциссу точки B, $x = 0.5a$, в уравнение функции: $y = (0.5a)^2 = 0.25a^2$.

Ордината точки B равна $2.5b$. Используя условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $2.5a^2$.

Сравниваем: $0.25a^2$ и $2.5a^2$. Равенство $0.25a^2 = 2.5a^2$ верно только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) C(16a; 4b)

Подставим абсциссу точки C, $x = 16a$, в уравнение функции: $y = (16a)^2 = 256a^2$.

Ордината точки C равна $4b$. Используя условие $b = a^2$, получаем, что ордината должна быть равна $4a^2$.

Сравниваем: $256a^2$ и $4a^2$. Равенство $256a^2 = 4a^2$ верно только при $a = 0$. Этот вариант не подходит.

4) D(-a; b)

Подставим абсциссу точки D, $x = -a$, в уравнение функции: $y = (-a)^2 = a^2$.

Ордината точки D равна $b$.

Сравниваем полученное значение $y$ с ординатой точки: $a^2$ и $b$. Из начального условия мы знаем, что $b = a^2$. Таким образом, равенство $y = b$ выполняется для любых значений $a$. Это означает, что если точка $(a; b)$ лежит на графике, то и точка $(-a; b)$ также лежит на графике. Это является свойством четной функции, график которой симметричен относительно оси OY.

Ответ: 4

2. При каких значениях аргумента значение функции $y = x^2$ равно 81?

1) -9

2) 9

3) -9 и 9

4) такие значения не существуют

Чтобы найти значения аргумента, при которых значение функции $y = x^2$ равно 81, необходимо решить уравнение, подставив в него заданное значение $y$.

Аргументом функции является переменная $x$, а значением функции — переменная $y$. По условию, $y = 81$.

Подставляем значение $y$ в уравнение функции:

$x^2 = 81$

Для нахождения $x$ необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ при $a>0$ имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{81}$

Вычисляем значение корня:

$x_1 = 9$

$x_2 = -9$

Таким образом, функция принимает значение 81 при двух значениях аргумента: $9$ и $-9$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) -9 и 9

3. Решите графически уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Чтобы решить уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$ графически, нужно построить график функции $y = x^2 + 4x + 3$ и найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этого графика с осью $Ox$ (осью абсцисс).

Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Для нахождения ординаты вершины $y_v$ подставим значение $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, -1)$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения графика. Удобно взять точки, симметричные относительно оси симметрии параболы $x = -2$.
Найдем точку пересечения с осью $Oy$, для этого подставим $x=0$:
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
Составим таблицу значений:

Построив параболу по этим точкам, мы видим, что она пересекает ось абсцисс $Ox$ в двух точках. Из графика и таблицы видно, что это происходит при $y=0$. Координаты этих точек пересечения: $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

Абсциссы этих точек и являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $-3; -1$.

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x < -2 \text{ или } x > 2, \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2. \end{cases}$

1) Найдите $f(-4)$ и $f(0,5)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором:
a) $f(x) = -2$;
б) $f(x) = 4$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

1) Найдите f(-4) и f(0,5).

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x < -2 \text{ или } x > 2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \end{cases}$

Для нахождения значения $f(-4)$, мы сначала определяем, какому из заданных промежутков принадлежит аргумент $x = -4$. Поскольку $-4 < -2$, мы используем первую формулу $f(x) = -\frac{8}{x}$. Подставляем $x = -4$: $f(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$.

Для нахождения значения $f(0,5)$, мы определяем, что аргумент $x = 0,5$ удовлетворяет условию $-2 \le 0,5 \le 2$. Следовательно, мы используем вторую формулу $f(x) = x^2$. Подставляем $x = 0,5$: $f(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: $f(-4) = 2$; $f(0,5) = 0,25$.

2) Постройте график данной функции.

График функции состоит из трех частей, построенных на разных интервалах.

1. На отрезке $[-2, 2]$ функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(-2) = (-2)^2 = 4$. $f(2) = (2)^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Концевые точки принадлежат графику.

2. На интервале $(-\infty, -2)$ функция задается формулой $f(x) = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. При приближении $x$ к $-2$ слева, значение $f(x)$ стремится к $-\frac{8}{-2} = 4$. Это означает, что эта ветвь гиперболы подходит к точке $(-2, 4)$, соединяясь с параболой. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$.

3. На интервале $(2, \infty)$ функция задается той же формулой $f(x) = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти. При приближении $x$ к $2$ справа, значение $f(x)$ стремится к $-\frac{8}{2} = -4$. Так как интервал строгий ($x > 2$), точка $(2, -4)$ не принадлежит графику и изображается "выколотой" (пустым кружком). При $x \to \infty$, $f(x) \to 0$.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором:

а) f(x) = -2

Чтобы найти значение аргумента, при котором $f(x) = -2$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = -2$. Из графика видно, что прямая $y = -2$ пересекает только одну ветвь графика — ветвь гиперболы при $x > 2$. Найдем эту абсциссу, решив уравнение: $-\frac{8}{x} = -2$ $8 = 2x$ $x = 4$ Это значение удовлетворяет условию $x > 2$.

Ответ: $x = 4$.

б) f(x) = 4

Чтобы найти значение аргумента, при котором $f(x) = 4$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = 4$. Прямая $y = 4$ пересекает график в двух точках. Обе эти точки являются концами дуги параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 2]$. Найдем их абсциссы из уравнения: $x^2 = 4$ $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Оба значения принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Ветвь гиперболы $y = -8/x$ при $x < -2$ также стремится к значению $y=4$ при $x \to -2$, что соответствует уже найденной точке $x=-2$.

Ответ: $x = -2; x = 2$.

4) Определите, при каких значениях а прямая y = a будет иметь с графиком функции f единственную общую точку.

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y = a$ с графиком функции $f(x)$ в зависимости от параметра $a$.

- При $a > 4$: пересечений нет (0 точек).
- При $a = 4$: прямая касается параболы в двух точках $x=-2$ и $x=2$ (2 точки).
- При $0 < a < 4$: прямая пересекает параболу в двух точках и левую ветвь гиперболы в одной точке (3 точки).
- При $a = 0$: прямая пересекает график в одной точке — вершине параболы $x=0$ (1 точка).
- При $-4 < a < 0$: прямая пересекает только правую ветвь гиперболы в одной точке (1 точка).
- При $a = -4$: пересечений нет, так как точка на правой ветви гиперболы выколота.
- При $a < -4$: пересечений нет.

Единственная общая точка будет в двух случаях: 1. Когда $a = 0$. 2. Когда $-4 < a < 0$.

Объединяя эти два случая, получаем, что прямая $y=a$ имеет с графиком единственную общую точку при $a \in (-4, 0]$.

Ответ: $a \in (-4, 0]$.