Страница 52 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите среди данных функций обратную пропорциональность.

1) $y = \frac{6x}{7}$

2) $y = -\frac{6x}{7}$

3) $y = \frac{7x}{6}$

4) $y = \frac{7}{6x}$

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число. Характерной чертой такой зависимости является то, что при увеличении значения $x$ в несколько раз, значение $y$ уменьшается во столько же раз, и наоборот.

Проанализируем каждую из предложенных функций, чтобы определить, какая из них соответствует этому определению.

1) $y = \frac{6x}{7}$
Данную функцию можно переписать в виде $y = \frac{6}{7}x$. Это уравнение вида $y = kx$, где $k = \frac{6}{7}$. Такая функция является прямой пропорциональностью, а не обратной.

2) $y = -\frac{6x}{7}$
Эту функцию можно представить как $y = (-\frac{6}{7})x$. Это также является прямой пропорциональностью вида $y = kx$ с коэффициентом $k = -\frac{6}{7}$.

3) $y = \frac{7x}{6}$
Аналогично предыдущим, эту функцию можно записать в виде $y = \frac{7}{6}x$. Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k = \frac{7}{6}$.

4) $y = \frac{7}{6x}$
Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{7/6}{x}$. Эта запись полностью соответствует общей формуле обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = \frac{7}{6}$. Следовательно, эта функция является обратной пропорциональностью.

Таким образом, единственная функция среди предложенных, которая является обратной пропорциональностью, — это функция под номером 4.
Ответ: 4

2. График какой из данных функций изображён на рисунке?

1) $y = \frac{3}{x}$

2) $y = -\frac{3}{x}$

3) $y = \frac{1}{3x}$

4) $y = -\frac{1}{3x}$

На рисунке изображен график функции, который является гиперболой. Общий вид уравнения для такой функции: $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.

Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Это означает, что коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

Рассмотрим предложенные варианты функций:

• 1) $y = \frac{3}{x}$: здесь коэффициент $k=3$, он положительный. Этот вариант не подходит.
• 2) $y = -\frac{3}{x}$: здесь коэффициент $k=-3$, он отрицательный. Этот вариант может подойти.
• 3) $y = \frac{1}{3x}$: здесь коэффициент $k=\frac{1}{3}$, он положительный. Этот вариант не подходит.
• 4) $y = -\frac{1}{3x}$: здесь коэффициент $k=-\frac{1}{3}$, он отрицательный. Этот вариант может подойти.

Чтобы сделать выбор между вариантами 2 и 4, найдем на графике точку с точными целочисленными координатами и проверим, удовлетворяет ли она уравнениям. Например, из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1; -3)$.

Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=-3$) в формулы оставшихся функций.

2) $y = -\frac{3}{x}$

Подставляем значения:

$-3 = -\frac{3}{1}$

$-3 = -3$

Это верное равенство, значит, график этой функции проходит через точку $(1; -3)$.

4) $y = -\frac{1}{3x}$

Подставляем значения:

$-3 = -\frac{1}{3 \cdot 1}$

$-3 = -\frac{1}{3}$

Это неверное равенство.

Таким образом, на рисунке изображен график функции $y = -\frac{3}{x}$.

Ответ: 2

3. Дана функция $y = - \frac{84}{x}$.

Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно -14;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 0,4.

Дана функция $y = -\frac{84}{x}$.

1) значение функции, если значение аргумента равно -14;

Чтобы найти значение функции (y), необходимо подставить заданное значение аргумента $x = -14$ в формулу функции:
$y = -\frac{84}{x} = -\frac{84}{-14}$
Так как мы делим отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным:
$y = \frac{84}{14}$
$y = 6$
Ответ: 6

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 0,4.

Чтобы найти значение аргумента (x), при котором значение функции равно 0,4, необходимо подставить $y = 0,4$ в формулу и решить полученное уравнение:
$0,4 = -\frac{84}{x}$
Из этого уравнения выразим $x$. $x$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое (-84) разделить на частное (0,4):
$x = \frac{-84}{0,4}$
Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:
$x = -\frac{84 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = -\frac{840}{4}$
$x = -210$
Ответ: -210

4. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $C(6; -4,5)$. Проходит ли график этой функции через точку $D\left(-2\frac{1}{4}; 12\right)$?

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. Поскольку график этой функции проходит через точку $C(6; -4,5)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 6$ и $y = -4,5$ в уравнение, чтобы найти неизвестный коэффициент $k$.

$-4,5 = \frac{k}{6}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на 6:

$k = -4,5 \cdot 6$

$k = -27$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = -\frac{27}{x}$.

Теперь необходимо проверить, проходит ли график этой функции через точку $D(-2\frac{1}{4}; 12)$. Для этого подставим координаты точки $D$ в полученное уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$x = -2\frac{1}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{9}{4}$

Подставляем $x = -\frac{9}{4}$ и $y = 12$ в уравнение $y = -\frac{27}{x}$:

$12 = -\frac{27}{-\frac{9}{4}}$

Вычислим значение в правой части равенства:

$-\frac{27}{-\frac{9}{4}} = -27 \div (-\frac{9}{4}) = 27 \cdot \frac{4}{9} = \frac{27 \cdot 4}{9} = 3 \cdot 4 = 12$

В результате мы получили верное равенство: $12 = 12$.

Следовательно, точка $D$ принадлежит графику данной функции.

Ответ: Да, график функции проходит через точку $D(-2\frac{1}{4}; 12)$.

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{8x + 16}{x^2 + 2x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{8x + 16}{x^2 + 2x}$ сначала найдем её область определения и упростим выражение.

Знаменатель дроби $x^2 + 2x$ обращается в ноль при $x(x+2) = 0$, то есть при $x=0$ и $x=-2$. Следовательно, область определения функции: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Упростим формулу функции, разложив числитель и знаменатель на множители: $f(x) = \frac{8(x + 2)}{x(x + 2)}$.

При $x \neq -2$ и $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$ и получить $f(x) = \frac{8}{x}$.

Таким образом, график функции $f(x)$ представляет собой гиперболу $y = \frac{8}{x}$ с "выколотой" точкой при $x = -2$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное выражение: $y = \frac{8}{-2} = -4$. Значит, график функции $f(x)$ — это гипербола $y = \frac{8}{x}$ без точки $(-2, -4)$. Асимптотами графика являются оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Далее определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком функции $f(x)$ единственную общую точку. Прямая $y = kx$ представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат $(0,0)$.

Количество общих точек находится из решения уравнения $f(x) = kx$, то есть $\frac{8}{x} = kx$, при учете ограничений области определения $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Преобразуем уравнение: $kx^2 = 8$.

Если $k \le 0$, то левая часть уравнения ($kx^2$) неположительна, а правая (8) положительна. В этом случае действительных решений нет, и, следовательно, нет и общих точек.

Если $k > 0$, уравнение $x^2 = \frac{8}{k}$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{\frac{8}{k}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{8}{k}}$. Это значит, что прямая $y=kx$ (при $k>0$) пересекает гиперболу $y=\frac{8}{x}$ в двух точках. Чтобы у прямой была только одна общая точка с графиком функции $f(x)$, одна из точек пересечения должна совпадать с "выколотой" точкой $(-2, -4)$. Это означает, что один из найденных корней должен быть равен $-2$.

Приравняем корень $x_2$ к $-2$: $-\sqrt{\frac{8}{k}} = -2$ $\sqrt{\frac{8}{k}} = 2$ $\frac{8}{k} = 4$ $k = 2$.

При $k=2$ прямая $y=2x$ проходит через "выколотую" точку $(-2, -4)$, так как $-4 = 2 \cdot (-2)$. Второй точкой пересечения этой прямой с гиперболой $y=\frac{8}{x}$ будет точка с абсциссой $x=2$ (из $x=\pm 2$). Эта точка $(2, 4)$ принадлежит графику функции $f(x)$. Таким образом, при $k=2$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку.

Ответ: $k=2$.