Страница 46 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Представьте выражение $\frac{a^6 \cdot a^{-3}}{a^{10}}$ в виде степени с основанием $a$.

1) $a^{13}$ 2) $a^{-7}$ 3) $a^{-28}$ 4) $a^{-4}$

Чтобы представить выражение $\frac{a^6 \cdot a^{-3}}{a^{10}}$ в виде степени с основанием $a$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Упрощение числителя
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство выражается формулой: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Применим это правило к числителю дроби:
$a^6 \cdot a^{-3} = a^{6 + (-3)} = a^{6-3} = a^3$.

2. Деление степеней
После упрощения числителя выражение принимает вид: $\frac{a^3}{a^{10}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя. Это свойство выражается формулой: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$\frac{a^3}{a^{10}} = a^{3-10} = a^{-7}$.

Таким образом, итоговое выражение в виде степени с основанием $a$ есть $a^{-7}$. Этот результат соответствует варианту ответа 2).
Ответ: $a^{-7}$

2. Укажите значение выражения $7^{-10} \cdot (7^{-2})^{-4}$

1) 49

2) $\frac{1}{49}$

3) -49

4) $-\frac{1}{49}$

Для того чтобы найти значение выражения $7^{-10} \cdot (7^{-2})^{-4}$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Сначала упростим выражение в скобках, возведенное в степень. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В нашем случае $a=7$, $m=-2$, $n=-4$.

$(7^{-2})^{-4} = 7^{(-2) \cdot (-4)} = 7^8$.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$7^{-10} \cdot 7^8$.

3. Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$7^{-10} \cdot 7^8 = 7^{-10+8} = 7^{-2}$.

4. Наконец, вычислим значение полученной степени. По определению степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Полученное значение $\frac{1}{49}$ соответствует варианту ответа 2).

Ответ: $\frac{1}{49}$.

3. Найдите значение выражения $\frac{1}{18}a^{-1}b^{-7} \cdot 54a^2b^6$ при $a = \frac{1}{7}, b = \frac{1}{21}$.

Решение

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{1}{18}a^{-1}b^{-7} \cdot 54a^2b^6 = (\frac{1}{18} \cdot 54) \cdot (a^{-1} \cdot a^2) \cdot (b^{-7} \cdot b^6)$

Вычислим значение каждой группы по отдельности:

1. Произведение числовых коэффициентов:

$\frac{1}{18} \cdot 54 = \frac{54}{18} = 3$

2. Произведение степеней с основанием $a$, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{-1} \cdot a^2 = a^{-1+2} = a^1 = a$

3. Произведение степеней с основанием $b$:

$b^{-7} \cdot b^6 = b^{-7+6} = b^{-1}$

Теперь объединим полученные части в одно выражение:

$3 \cdot a \cdot b^{-1}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, чтобы избавиться от отрицательной степени:

$3 \cdot a \cdot \frac{1}{b} = \frac{3a}{b}$

Теперь подставим заданные значения $a = \frac{1}{7}$ и $b = \frac{1}{21}$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot \frac{1}{7}}{\frac{1}{21}}$

Выполним вычисления. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$3 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{21}{1} = 3 \cdot \frac{21}{7}$

Сократим дробь $\frac{21}{7}$:

$3 \cdot 3 = 9$

Ответ: 9

4. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $(2,6 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,5 \cdot 10^{8});$

2) $\frac{6,5 \cdot 10^{-7}}{13 \cdot 10^{-3}}.$

1) Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде $(a \cdot 10^n)$, необходимо перемножить их мантиссы (числа $a$) и сложить порядки (степени $n$).
$(2,6 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,5 \cdot 10^{8}) = (2,6 \cdot 5,5) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{8})$
Вычисляем произведение мантисс:
$2,6 \cdot 5,5 = 14,3$
Вычисляем произведение степеней, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{-3} \cdot 10^{8} = 10^{-3+8} = 10^5$
Результат произведения:
$14,3 \cdot 10^5$
Для записи числа в стандартном виде мантисса должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. Преобразуем $14,3$:
$14,3 = 1,43 \cdot 10^1$
Подставляем преобразованное значение обратно в выражение:
$(1,43 \cdot 10^1) \cdot 10^5 = 1,43 \cdot 10^{1+5} = 1,43 \cdot 10^6$
Ответ: $1,43 \cdot 10^6$

2) Для выполнения деления чисел, записанных в стандартном виде, необходимо разделить их мантиссы и вычесть порядок делителя из порядка делимого.
$\frac{6,5 \cdot 10^{-7}}{13 \cdot 10^{-3}} = \frac{6,5}{13} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-3}}$
Вычисляем частное мантисс:
$\frac{6,5}{13} = 0,5$
Вычисляем частное степеней, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{-7}}{10^{-3}} = 10^{-7 - (-3)} = 10^{-7+3} = 10^{-4}$
Результат деления:
$0,5 \cdot 10^{-4}$
Приведем результат к стандартному виду. Мантисса $0,5$ не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Преобразуем $0,5$:
$0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$
Подставляем преобразованное значение обратно в выражение:
$(5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-4} = 5 \cdot 10^{-1+(-4)} = 5 \cdot 10^{-5}$
Ответ: $5 \cdot 10^{-5}$

5. Найдите значение выражения $ \frac{14^{-2} \cdot 21^{-5}}{42^{-7}} $

Для нахождения значения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим основания степеней (14, 21 и 42) в виде произведения простых множителей:

$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$ \frac{14^{-2} \cdot 21^{-5}}{42^{-7}} = \frac{(2 \cdot 7)^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^{-5}}{(2 \cdot 3 \cdot 7)^{-7}} $

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для числителя и знаменателя:

$ \frac{(2^{-2} \cdot 7^{-2}) \cdot (3^{-5} \cdot 7^{-5})}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 7^{-7}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ \frac{2^{-2} \cdot 3^{-5} \cdot 7^{-2 + (-5)}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 7^{-7}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-5} \cdot 7^{-7}}{2^{-7} \cdot 3^{-7} \cdot 7^{-7}} $

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания (2, 3 и 7):

$ 2^{-2 - (-7)} \cdot 3^{-5 - (-7)} \cdot 7^{-7 - (-7)} = 2^{-2+7} \cdot 3^{-5+7} \cdot 7^{-7+7} = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^0 $

Осталось вычислить полученное значение. Учитываем, что любое число в нулевой степени равно единице ($7^0 = 1$):

$ 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^0 = 32 \cdot 9 \cdot 1 = 288 $

Ответ: 288

6. Упростите выражение $\frac{16a^{-2} + b^{-2}}{16a^{-1}b^{-1} - 4b^{-2}} - \frac{2a^{-1}}{4a^{-1} - b^{-1}}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для начала преобразуем выражение, избавившись от отрицательных степеней, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $ \frac{16a^{-2} + b^{-2}}{16a^{-1}b^{-1} - 4b^{-2}} - \frac{2a^{-1}}{4a^{-1} - b^{-1}} $

После преобразования степеней получаем:$ \frac{\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}} - \frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{a} - \frac{1}{b}} $

Теперь упростим каждую из двух дробей по отдельности.

1. Упростим первую дробь:$ \frac{\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}} $

Чтобы избавиться от "многоэтажности", домножим числитель и знаменатель этой дроби на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на $a^2b^2$:$ \frac{(\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \cdot a^2b^2}{(\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}) \cdot a^2b^2} = \frac{\frac{16a^2b^2}{a^2} + \frac{a^2b^2}{b^2}}{\frac{16a^2b^2}{ab} - \frac{4a^2b^2}{b^2}} = \frac{16b^2 + a^2}{16ab - 4a^2} $

Разложим знаменатель на множители:$ 16ab - 4a^2 = 4a(4b - a) $

Таким образом, первая дробь равна:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} $

2. Упростим вторую дробь:$ \frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{a} - \frac{1}{b}} $

Домножим числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на $ab$:$ \frac{\frac{2}{a} \cdot ab}{(\frac{4}{a} - \frac{1}{b}) \cdot ab} = \frac{\frac{2ab}{a}}{\frac{4ab}{a} - \frac{ab}{b}} = \frac{2b}{4b - a} $

3. Выполним вычитание:

Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} - \frac{2b}{4b - a} $

Приведем дроби к общему знаменателю $4a(4b - a)$:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} - \frac{2b \cdot 4a}{(4b - a) \cdot 4a} = \frac{a^2 + 16b^2 - 8ab}{4a(4b - a)} $

В числителе мы видим формулу квадрата разности: $a^2 - 8ab + 16b^2 = (a - 4b)^2$.

Подставим это в дробь:$ \frac{(a - 4b)^2}{4a(4b - a)} $

Заметим, что $(a - 4b)^2 = (-(4b - a))^2 = (4b - a)^2$.

Поэтому выражение можно переписать так:$ \frac{(4b - a)^2}{4a(4b - a)} $

Сократим общий множитель $(4b - a)$:$ \frac{4b - a}{4a} $

Ответ: $ \frac{4b-a}{4a} $