Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $|x| = -x$ и $x^2 = -4$

2) $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

3) $4x + 8 = 0$ и $0,3x = -0,6$

4) $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$ и $x - 9 = 0$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, нужно определить множество решений для каждого уравнения в каждой паре и сравнить их.

1) $|x| = -x$ и $x^2 = -4$

Решим первое уравнение: $|x| = -x$.
По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$. Таким образом, множество решений этого уравнения — это числовой луч $(-\infty, 0]$.

Решим второе уравнение: $x^2 = -4$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Так как множество решений первого уравнения $(-\infty, 0]$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\emptyset$, данная пара уравнений является неравносильной.

2) $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы находим $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 1 = 0$.
$x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

3) $4x + 8 = 0$ и $0,3x = -0,6$

Решим первое уравнение: $4x + 8 = 0$.
$4x = -8$
$x = -2$
Множество решений: $\{-2\}$.

Решим второе уравнение: $0,3x = -0,6$.
$x = \frac{-0,6}{0,3}$
$x = -2$
Множество решений: $\{-2\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

4) $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$ и $x - 9 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 9)(x^2 + 9) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 9 = 0 \implies x = 9$.
$x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных решений.
Единственное решение первого уравнения — $x = 9$. Множество решений: $\{9\}$.

Решим второе уравнение: $x - 9 = 0$.
$x = 9$.
Множество решений: $\{9\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Единственная пара, в которой множества решений уравнений не совпадают, — это пара под номером 1. Таким образом, это пара неравносильных уравнений.

Ответ: 1

2. Решите уравнение $\frac{x + 15}{x^2 - 225} = 0.$

1) 15

2) -15

3) -15; 15

4) корней нет

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x + 15 = 0 \\ x^2 - 225 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы, чтобы найти потенциальные корни:

$x + 15 = 0$

$x = -15$

Теперь проверим второе условие, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 225 \neq 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 15^2 \neq 0$

$(x - 15)(x + 15) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Отсюда получаем два условия:

$x - 15 \neq 0 \implies x \neq 15$

$x + 15 \neq 0 \implies x \neq -15$

Таким образом, область допустимых значений исключает числа $15$ и $-15$.

Теперь сравним корень, полученный из числителя ($x = -15$), с областью допустимых значений. Мы видим, что значение $x = -15$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -15$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Поскольку других потенциальных корней нет, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x - 1)^2}$;

2) $\frac{2y^2 + 42}{36 - y^2} + \frac{y + 6}{y - 6} = \frac{1}{y + 6}$;

3) $\frac{x^2 + 3x}{x + 1} = \frac{x - x^2}{x + 1}$.

1) $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x-1)^2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$(x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

$(x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{3}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x-1)^2}$.

Общий знаменатель: $(x-1)^2(x+1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x-1)(x+1) + 2(x-1)^2 = 5(x+1)^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3(x^2 - 1) + 2(x^2 - 2x + 1) = 5(x^2 + 2x + 1)$

$3x^2 - 3 + 2x^2 - 4x + 2 = 5x^2 + 10x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 - 4x - 1 = 5x^2 + 10x + 5$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$5x^2 - 5x^2 - 4x - 10x = 5 + 1$

$-14x = 6$

$x = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7}$

Найденный корень $x = -3/7$ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен 1 или -1.

Ответ: $-\frac{3}{7}$.

2) $\frac{2y^2 + 42}{36 - y^2} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

Определим ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$36 - y^2 \neq 0 \Rightarrow (6-y)(6+y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ и $y \neq -6$.

$y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$.

$y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$.

ОДЗ: $y \neq \pm 6$.

Преобразуем знаменатели, чтобы привести к общему виду: $36 - y^2 = -(y^2 - 36) = -(y-6)(y+6)$ и $y-6 = -(6-y)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2y^2 + 42}{-(y-6)(y+6)} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

$-\frac{2y^2 + 42}{(y-6)(y+6)} + \frac{y+6}{y-6} = \frac{1}{y+6}$

Общий знаменатель: $(y-6)(y+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$-(2y^2 + 42) + (y+6)(y+6) = 1(y-6)$

Раскроем скобки:

$-2y^2 - 42 + y^2 + 12y + 36 = y - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-y^2 + 12y - 6 = y - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$-y^2 + 12y - y - 6 + 6 = 0$

$-y^2 + 11y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(-y + 11) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$-y_2 + 11 = 0 \Rightarrow y_2 = 11$

Оба корня ($0$ и $11$) удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 6$).

Ответ: 0; 11.

3) $\frac{x^2 + 3x}{x+1} = \frac{x-x^2}{x+1}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$x^2 + 3x = x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x^2 + 3x - x = 0$

$2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x+1) = 0$

Это уравнение дает два возможных корня:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x+1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 0.

4. Баржа прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость баржи в стоячей воде равна 9 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Скорость баржи по течению реки равна сумме её собственной скорости и скорости течения, то есть $(9 + x)$ км/ч.

Скорость баржи против течения реки равна разности её собственной скорости и скорости течения, то есть $(9 - x)$ км/ч.

Время, которое баржа затратила на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{36}{9+x}$ ч.

Время, которое баржа затратила на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{36}{9-x}$ ч.

Общее время в пути равно 9 часов. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$\frac{36}{9+x} + \frac{36}{9-x} = 9$

Для решения уравнения разделим обе части на 9:

$\frac{4}{9+x} + \frac{4}{9-x} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(9+x)(9-x)$:

$\frac{4(9-x) + 4(9+x)}{(9+x)(9-x)} = 1$

$\frac{36 - 4x + 36 + 4x}{81 - x^2} = 1$

$\frac{72}{81 - x^2} = 1$

$81 - x^2 = 72$

$x^2 = 81 - 72$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Поскольку скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, решением задачи является $x = 3$.

Ответ: 3 км/ч.