Страница 36 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какому из приведённых выражений тождественно равно выражение $\left(\frac{a}{b-a}-\frac{a}{b}\right): \frac{a^{2}}{b^{2}}$?

1) $\frac{1}{b(b-a)}$

2) $\frac{b^{2}}{b-a}$

3) $\frac{b}{b-a}$

4) $\frac{a^{4}}{b^{3}(b-a)}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Выполним вычитание дробей в скобках.

Чтобы вычесть дроби $ \frac{a}{b-a} $ и $ \frac{a}{b} $, приведём их к общему знаменателю $ b(b-a) $.

$ \frac{a}{b-a} - \frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b(b-a)} - \frac{a \cdot (b-a)}{b(b-a)} $

Теперь запишем разность под общим знаменателем и упростим числитель:

$ \frac{ab - a(b-a)}{b(b-a)} = \frac{ab - ab + a^2}{b(b-a)} = \frac{a^2}{b(b-a)} $

2. Выполним деление.

Теперь разделим результат первого действия на дробь $ \frac{a^2}{b^2} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{a^2}{b(b-a)} : \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2}{b(b-a)} \cdot \frac{b^2}{a^2} $

3. Сократим полученную дробь.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $ a^2 $ сокращается полностью. Множитель $ b $ в знаменателе сокращается со степенью $ b^2 $ в числителе:

$ \frac{\cancel{a^2} \cdot b^{\cancel{2}}}{\cancel{b}(b-a) \cdot \cancel{a^2}} = \frac{b}{b-a} $

Полученное выражение $ \frac{b}{b-a} $ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

2. Известно, что $\frac{2}{a} = b - \frac{1}{c}$. Укажите верное равенство.

1) $c = \frac{ab - 2}{a}$

2) $c = \frac{a}{ab - 2}$

3) $c = \frac{a}{ab + 2}$

4) $c = \frac{a + 2b}{a}$

Для того чтобы найти верное равенство, необходимо выразить переменную $c$ из исходного уравнения:

$$ \frac{2}{a} = b - \frac{1}{c} $$

Выполним следующие шаги:

1. Изолируем слагаемое, содержащее переменную $c$, в одной части уравнения. Для этого перенесем $\frac{1}{c}$ в левую часть равенства, а $\frac{2}{a}$ — в правую. При переносе слагаемых через знак равенства их знаки меняются на противоположные.

$$ \frac{1}{c} = b - \frac{2}{a} $$

2. Приведем выражение в правой части уравнения к общему знаменателю. Общим знаменателем для $b$ (которое можно представить как $\frac{b}{1}$) и $\frac{2}{a}$ является $a$.

$$ \frac{1}{c} = \frac{b \cdot a}{a} - \frac{2}{a} $$

3. Выполним вычитание дробей в правой части:

$$ \frac{1}{c} = \frac{ab - 2}{a} $$

4. Мы получили выражение для $\frac{1}{c}$. Чтобы найти $c$, нужно взять обратную величину от обеих частей равенства (то есть "перевернуть" обе дроби).

$$ c = \frac{a}{ab - 2} $$

Сравнив полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом ответа под номером 2.

Ответ: 2

3. Докажите тождество:

$(\frac{8y}{y^2 - 10y + 25} - \frac{4y}{y - 5}) : \frac{7 - y}{25 - y^2} + \frac{40y}{y - 5} = -4y.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку.

1. Выполним вычитание в скобках:

$\left(\frac{8y}{y^2 - 10y + 25} - \frac{4y}{y - 5}\right)$

Знаменатель первой дроби $y^2 - 10y + 25$ является полным квадратом $(y-5)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{8y}{(y-5)^2} - \frac{4y(y-5)}{(y-5)^2} = \frac{8y - (4y^2 - 20y)}{(y-5)^2} = \frac{8y - 4y^2 + 20y}{(y-5)^2} = \frac{28y - 4y^2}{(y-5)^2}$

Вынесем общий множитель $4y$ в числителе:

$\frac{4y(7-y)}{(y-5)^2}$

2. Выполним деление:

$\frac{4y(7-y)}{(y-5)^2} : \frac{7-y}{25-y^2}$

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим знаменатель $25-y^2$ на множители $(5-y)(5+y)$:

$\frac{4y(7-y)}{(y-5)^2} \cdot \frac{(5-y)(5+y)}{7-y}$

Сократим на $(7-y)$. Учтем, что $5-y = -(y-5)$:

$\frac{4y}{(y-5)^2} \cdot (-(y-5))(y+5) = \frac{-4y(y-5)(y+5)}{(y-5)^2}$

Сократим на $(y-5)$:

$\frac{-4y(y+5)}{y-5}$

3. Выполним сложение:

$\frac{-4y(y+5)}{y-5} + \frac{40y}{y-5}$

Сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{-4y(y+5) + 40y}{y-5} = \frac{-4y^2 - 20y + 40y}{y-5} = \frac{-4y^2 + 20y}{y-5}$

Вынесем общий множитель $-4y$ в числителе:

$\frac{-4y(y-5)}{y-5}$

Сократим на $(y-5)$ и получим:

$-4y$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части ($-4y = -4y$). Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4. Найдите значение выражения

$\frac{8a}{7a-1} : \left(\frac{a-1}{7a+1} - \frac{a+1}{7a-1}\right)$, если $a = -\frac{1}{14}$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение переменной $a$.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(7a + 1)(7a - 1)$.

$ \frac{a - 1}{7a + 1} - \frac{a + 1}{7a - 1} = \frac{(a - 1)(7a - 1) - (a + 1)(7a + 1)}{(7a + 1)(7a - 1)} $

Раскроем скобки в числителе, выполнив умножение многочленов:

$ (a - 1)(7a - 1) = 7a^2 - a - 7a + 1 = 7a^2 - 8a + 1 $

$ (a + 1)(7a + 1) = 7a^2 + a + 7a + 1 = 7a^2 + 8a + 1 $

Подставим полученные выражения обратно в числитель и упростим его:

$ (7a^2 - 8a + 1) - (7a^2 + 8a + 1) = 7a^2 - 8a + 1 - 7a^2 - 8a - 1 = -16a $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-16a}{(7a + 1)(7a - 1)} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{8a}{7a - 1} : \left( \frac{-16a}{(7a + 1)(7a - 1)} \right) = \frac{8a}{7a - 1} \cdot \frac{(7a + 1)(7a - 1)}{-16a} $

3. Сократим полученную дробь. Можно сократить общие множители $(7a - 1)$ и $8a$ (при условии, что $a \neq 0$ и $7a - 1 \neq 0$).

$ \frac{8a \cdot (7a + 1)(7a - 1)}{(7a - 1) \cdot (-16a)} = \frac{1 \cdot (7a + 1)}{-2} = -\frac{7a + 1}{2} $

4. Подставим значение $a = -\frac{1}{14}$ в упрощенное выражение:

$ -\frac{7 \cdot (-\frac{1}{14}) + 1}{2} = -\frac{-\frac{7}{14} + 1}{2} = -\frac{-\frac{1}{2} + 1}{2} = -\frac{\frac{1}{2}}{2} = -(\frac{1}{2} \div 2) = -\frac{1}{4} $

Ответ: $- \frac{1}{4}$

5. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшееся расстояние — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Средняя скорость на всем пути вычисляется как отношение всего пройденного расстояния ко всему времени движения. Формула для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим весь путь, который проехал автомобиль, как $S$.

Первый участок пути составляет треть всего пути, то есть $S_1 = \frac{1}{3}S$. Скорость на этом участке была $v_1 = 60$ км/ч.

Время, затраченное на прохождение первого участка, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{1}{3}S}{60} = \frac{S}{3 \cdot 60} = \frac{S}{180}$ ч.

Оставшееся расстояние составляет $S_2 = S - S_1 = S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S$. Скорость на этом втором участке была $v_2 = 80$ км/ч.

Время, затраченное на прохождение второго участка:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\frac{2}{3}S}{80} = \frac{2S}{3 \cdot 80} = \frac{2S}{240} = \frac{S}{120}$ ч.

Теперь найдем общее время движения, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{180} + \frac{S}{120}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 180 и 120 — это 360.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{360} + \frac{3 \cdot S}{360} = \frac{2S + 3S}{360} = \frac{5S}{360} = \frac{S}{72}$ ч.

Наконец, рассчитаем среднюю скорость, подставив найденные значения в исходную формулу:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{72}} = S \cdot \frac{72}{S} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.