Номер 4, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения

$\frac{8a}{7a-1} : \left(\frac{a-1}{7a+1} - \frac{a+1}{7a-1}\right)$, если $a = -\frac{1}{14}$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение переменной $a$.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(7a + 1)(7a - 1)$.

$ \frac{a - 1}{7a + 1} - \frac{a + 1}{7a - 1} = \frac{(a - 1)(7a - 1) - (a + 1)(7a + 1)}{(7a + 1)(7a - 1)} $

Раскроем скобки в числителе, выполнив умножение многочленов:

$ (a - 1)(7a - 1) = 7a^2 - a - 7a + 1 = 7a^2 - 8a + 1 $

$ (a + 1)(7a + 1) = 7a^2 + a + 7a + 1 = 7a^2 + 8a + 1 $

Подставим полученные выражения обратно в числитель и упростим его:

$ (7a^2 - 8a + 1) - (7a^2 + 8a + 1) = 7a^2 - 8a + 1 - 7a^2 - 8a - 1 = -16a $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-16a}{(7a + 1)(7a - 1)} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{8a}{7a - 1} : \left( \frac{-16a}{(7a + 1)(7a - 1)} \right) = \frac{8a}{7a - 1} \cdot \frac{(7a + 1)(7a - 1)}{-16a} $

3. Сократим полученную дробь. Можно сократить общие множители $(7a - 1)$ и $8a$ (при условии, что $a \neq 0$ и $7a - 1 \neq 0$).

$ \frac{8a \cdot (7a + 1)(7a - 1)}{(7a - 1) \cdot (-16a)} = \frac{1 \cdot (7a + 1)}{-2} = -\frac{7a + 1}{2} $

4. Подставим значение $a = -\frac{1}{14}$ в упрощенное выражение:

$ -\frac{7 \cdot (-\frac{1}{14}) + 1}{2} = -\frac{-\frac{7}{14} + 1}{2} = -\frac{-\frac{1}{2} + 1}{2} = -\frac{\frac{1}{2}}{2} = -(\frac{1}{2} \div 2) = -\frac{1}{4} $

Ответ: $- \frac{1}{4}$