Номер 1, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $x - 2 = 4$ и $\frac{x}{2} = 3$

2) $(x - 2)(x^2 + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

3) $(x - 2)(x + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

4) $|x| = -1$ и $\frac{8}{x} = 0$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если множества решений не совпадают, уравнения называются неравносильными. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, нужно найти решения для каждого уравнения в предложенных парах и сравнить полученные множества решений.

1) $x - 2 = 4$ и $\frac{x}{2} = 3$

Решим первое уравнение:
$x - 2 = 4$
$x = 4 + 2$
$x = 6$
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.

Решим второе уравнение:
$\frac{x}{2} = 3$
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Множество решений второго уравнения: $\{6\}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

2) $(x - 2)(x^2 + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$.
Из $x - 2 = 0$ следует, что $x = 2$.
Уравнение $x^2 + 1 = 0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением первого уравнения является $x = 2$. Множество решений: $\{2\}$.

Решим второе уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{2\}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) $(x - 2)(x + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$

Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x + 1 = 0$.
Из $x - 2 = 0$ следует, что $x = 2$.
Из $x + 1 = 0$ следует, что $x = -1$.
Множество решений первого уравнения: $\{-1, 2\}$.

Решим второе уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{2\}$.

Множества решений уравнений не совпадают ($\{-1, 2\} \neq \{2\}$), так как первое уравнение имеет дополнительный корень $x = -1$. Следовательно, уравнения неравносильны.
Ответ: неравносильны.

4) $|x| = -1$ и $\frac{8}{x} = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $|x| = -1$.
Модуль (абсолютное значение) любого числа по определению неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{8}{x} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. В данном случае числитель равен 8 (не равен нулю). Следовательно, это уравнение также не имеет решений.
Множество решений второго уравнения — пустое множество ($\emptyset$).

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть они совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

Итак, единственной парой неравносильных уравнений является пара под номером 3.