Номер 1, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $|x| = 1$ и $x^2 = 1$

2) $3x - 1,2 = 0$ и $x + 0,6 = 1$

3) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Если множества решений различны, то уравнения называются неравносильными. Проанализируем каждую пару уравнений, чтобы найти неравносильную.

1) $|x| = 1$ и $x^2 = 1$

Решим первое уравнение: $|x| = 1$. Его корнями являются $x = 1$ и $x = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 = 1$. Его корнями также являются $x = \sqrt{1} = 1$ и $x = -\sqrt{1} = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, эта пара уравнений является равносильной.

2) $3x - 1,2 = 0$ и $x + 0,6 = 1$

Решим первое уравнение: $3x - 1,2 = 0 \implies 3x = 1,2 \implies x = 0,4$. Множество решений: $\{0,4\}$.

Решим второе уравнение: $x + 0,6 = 1 \implies x = 1 - 0,6 \implies x = 0,4$. Множество решений: $\{0,4\}$.

Поскольку множества решений совпадают, эта пара уравнений также является равносильной.

3) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из уравнения $x^2 - 4 = 0$ находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Условие $x + 2 \neq 0$ означает, что $x \neq -2$. Исключив корень $x = -2$, получаем, что единственным решением первого уравнения является $x = 2$. Множество решений: $\{2\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Его корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Множества решений $\{2\}$ и $\{-2, 2\}$ не совпадают. Следовательно, эта пара уравнений является неравносильной.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$. Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из уравнения $x^2 - 4 = 0$ находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Проверим условие $x^2 + 2 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль, и ограничений на $x$ нет. Таким образом, решениями первого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Решениями второго уравнения $x^2 - 4 = 0$ также являются $x = 2$ и $x = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Поскольку множества решений совпадают, эта пара уравнений является равносильной.

Следовательно, искомая пара неравносильных уравнений находится под номером 3.

Ответ: 3.