Номер 4, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Баржа прошла против течения реки $24 \text{ км}$ и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $2 \text{ ч}$ меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в стоячей воде, если скорость течения равна $3 \text{ км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи (скорость в стоячей воде). По условию, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость баржи должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное баржей на путь в 24 км против течения, равно $t_{против} = \frac{24}{x - 3}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь в 24 км по течению, равно $t_{по} = \frac{24}{x + 3}$ ч.

Из условия задачи известно, что на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше. На основе этого составим и решим уравнение:

$t_{против} - t_{по} = 2$

$\frac{24}{x - 3} - \frac{24}{x + 3} = 2$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:

$\frac{24(x + 3) - 24(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{24x + 72 - 24x + 72}{x^2 - 9} = 2$

$\frac{144}{x^2 - 9} = 2$

Теперь решим полученное уравнение:

$144 = 2(x^2 - 9)$

Разделим обе части на 2:

$72 = x^2 - 9$

$x^2 = 72 + 9$

$x^2 = 81$

У этого уравнения два корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.

Корень $x_2 = -9$ не подходит по физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость баржи в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.