Номер 3, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{6x + 1}{6x - 1};$

2) $\frac{x^2 + 6x + 7}{x + 7} = 1;$

3) $\frac{12x - 7}{x + 5} = \frac{9x - 22}{x + 5}.$

1) $\frac{x-1}{x+2} = \frac{6x+1}{6x-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$6x-1 \neq 0 \implies 6x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{6}$

Теперь решим уравнение, используя основное свойство пропорции (умножая крест-накрест):

$(x-1)(6x-1) = (6x+1)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x^2 - x - 6x + 1 = 6x^2 + 12x + x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 - 7x + 1 = 6x^2 + 13x + 2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$-7x - 13x = 2 - 1$

$-20x = 1$

$x = -\frac{1}{20}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-\frac{1}{20} \neq -2$ и $-\frac{1}{20} \neq \frac{1}{6}$, то корень является решением уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{20}$

2) $\frac{x^2+6x+7}{x+7} = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+7)$, чтобы избавиться от дроби:

$x^2+6x+7 = 1 \cdot (x+7)$

$x^2+6x+7 = x+7$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2+6x-x+7-7 = 0$

$x^2+5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x+5 = 0 \implies x_2 = -5$

Оба корня ($0$ и $-5$) не равны $-7$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 0$

3) $\frac{12x-7}{x+5} = \frac{9x-22}{x+5}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны, то для равенства дробей необходимо, чтобы были равны их числители (при условии соблюдения ОДЗ):

$12x-7 = 9x-22$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем члены с $x$ влево, а постоянные члены — вправо:

$12x-9x = -22+7$

$3x = -15$

$x = \frac{-15}{3}$

$x = -5$

Теперь проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие ОДЗ: $x \neq -5$. Полученное значение $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней