Номер 3, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $\frac{x+2}{x-4} = \frac{3x-2}{3x+2}$;

2) $\frac{x^2+4x+5}{x+5} = 1$;

3) $\frac{7x-8}{x-4} = \frac{3x+8}{x-4}$.

1) Дано уравнение: $\frac{x+2}{x-4} = \frac{3x-2}{3x+2}$.
Найдём область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$3x + 2 \neq 0 \implies 3x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{3}$
Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):
$(x+2)(3x+2) = (3x-2)(x-4)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3x^2 + 2x + 6x + 4 = 3x^2 - 12x - 2x + 8$
Приведём подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 - 14x + 8$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$8x + 4 = -14x + 8$
Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$8x + 14x = 8 - 4$
$22x = 4$
$x = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $x = \frac{2}{11}$ не равно 4 и не равно $-\frac{2}{3}$, корень является решением уравнения.
Ответ: $\frac{2}{11}$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2+4x+5}{x+5} = 1$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю:
$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+5)$:
$x^2 + 4x + 5 = 1 \cdot (x+5)$
$x^2 + 4x + 5 = x + 5$
Перенесём все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + 4x - x + 5 - 5 = 0$
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$.
Оба корня (0 и -3) входят в ОДЗ, так как они не равны -5.
Ответ: -3; 0.

3) Дано уравнение: $\frac{7x-8}{x-4} = \frac{3x+8}{x-4}$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их числители, при условии соблюдения ОДЗ:
$7x - 8 = 3x + 8$
Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:
$7x - 3x = 8 + 8$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Сравним полученный результат с ОДЗ. Мы видим, что корень $x=4$ не входит в область допустимых значений ($x \neq 4$). Это означает, что при $x=4$ знаменатель исходных дробей обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.