Страница 29 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную произведению

$\frac{11a^3}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{33a^6}$

1) $\frac{1}{3a^3b^6}$

2) $\frac{1}{3a^2b^2}$

3) $\frac{3}{a^3b^6}$

4) $\frac{3}{a^2b^2}$

Чтобы найти дробь, тождественно равную произведению, необходимо выполнить умножение дробей и упростить полученное выражение.

Исходное выражение:

$$ \frac{11a^3}{b^{12}} \cdot \frac{b^6}{33a^6} $$

Сначала перемножим числители с числителями, а знаменатели со знаменателями:

$$ \frac{11a^3 \cdot b^6}{b^{12} \cdot 33a^6} $$

Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и выполним сокращение:

$$ \frac{11}{33} \cdot \frac{a^3}{a^6} \cdot \frac{b^6}{b^{12}} $$

Сократим каждую группу по отдельности:

1. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{11}{33} = \frac{1}{3} $.

2. Сокращаем степени переменной a, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} $: $ \frac{a^3}{a^6} = \frac{1}{a^{6-3}} = \frac{1}{a^3} $.

3. Сокращаем степени переменной b по тому же правилу: $ \frac{b^6}{b^{12}} = \frac{1}{b^{12-6}} = \frac{1}{b^6} $.

Теперь объединим все упрощенные части обратно в одну дробь:

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^6} = \frac{1}{3a^3b^6} $$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом 1).

Ответ: 1) $ \frac{1}{3a^3b^6} $

2. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$ \left(-\frac{6m^4}{n^6}\right)^2 $

1) $ \frac{12m^6}{n^8} $

2) $ -\frac{12m^6}{n^8} $

3) $ \frac{36m^8}{n^{12}} $

4) $ -\frac{36m^8}{n^{12}} $

Для того чтобы найти дробь, тождественно равную выражению $(-\frac{6m^4}{n^6})^2$, необходимо возвести эту дробь в квадрат.

Воспользуемся свойствами степеней. Во-первых, при возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2), знак минус исчезает, так как $(-a)^2 = a^2$.

$(-\frac{6m^4}{n^6})^2 = (\frac{6m^4}{n^6})^2$

Во-вторых, используем правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}$. Применим его к нашему выражению:

$(\frac{6m^4}{n^6})^2 = \frac{(6m^4)^2}{(n^6)^2}$

Далее, для числителя и знаменателя применяем правило возведения произведения в степень $(ab)^k = a^k b^k$ и правило возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.

Возводим в квадрат числитель:

$(6m^4)^2 = 6^2 \cdot (m^4)^2 = 36 \cdot m^{4 \cdot 2} = 36m^8$

Возводим в квадрат знаменатель:

$(n^6)^2 = n^{6 \cdot 2} = n^{12}$

Собираем полученную дробь:

$\frac{36m^8}{n^{12}}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{36m^8}{n^{12}}$

3. Упростите выражение:

1) $24a^4 \cdot \frac{3b^2}{8a^5}$;

2) $\frac{5y}{x - y} \cdot \frac{x^2 - xy}{10y}$;

3) $\frac{4a}{a^2 - 4b^2} \cdot (ab - 2b^2)$;

4) $\left(\frac{x^2}{y}\right)^3 \cdot \left(\frac{y^2}{x^4}\right)^4$;

5) $\frac{5a^3}{b^2} : (15a^2b)$;

6) $\frac{6x - 30}{3x + 5} : \frac{x^2 - 25}{6x + 10}$.

1) Представим $24a^4$ в виде дроби и выполним умножение, сокращая числитель и знаменатель:
$24a^4 \cdot \frac{3b^2}{8a^5} = \frac{24a^4}{1} \cdot \frac{3b^2}{8a^5} = \frac{24a^4 \cdot 3b^2}{8a^5} = \frac{72a^4b^2}{8a^5}$
Сократим числовые коэффициенты (72 и 8) на 8 и степени переменной $a$ ($a^4$ и $a^5$) на $a^4$:
$\frac{9 \cdot 1 \cdot b^2}{1 \cdot a^{5-4}} = \frac{9b^2}{a}$
Ответ: $\frac{9b^2}{a}$

2) Разложим числитель второй дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - xy = x(x-y)$
Подставим полученное выражение в исходное и выполним умножение, сокращая общие множители:
$\frac{5y}{x - y} \cdot \frac{x(x-y)}{10y} = \frac{5y \cdot x(x-y)}{(x - y) \cdot 10y}$
Сокращаем $(x-y)$, $y$ и числовые коэффициенты 5 и 10:
$\frac{1 \cdot x}{2} = \frac{x}{2}$
Ответ: $\frac{x}{2}$

3) Разложим знаменатель дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а во втором выражении вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b)$
$ab - 2b^2 = b(a-2b)$
Подставим разложенные выражения и сократим дробь:
$\frac{4a}{(a-2b)(a+2b)} \cdot (b(a-2b)) = \frac{4a \cdot b(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{4ab}{a+2b}$
Ответ: $\frac{4ab}{a+2b}$

4) Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\frac{x^2}{y})^3 = \frac{(x^2)^3}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}$
$(\frac{y^2}{x^4})^4 = \frac{(y^2)^4}{(x^4)^4} = \frac{y^8}{x^{16}}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{x^6}{y^3} \cdot \frac{y^8}{x^{16}} = \frac{x^6 y^8}{y^3 x^{16}}$
Сократим дроби, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$x^{6-16} \cdot y^{8-3} = x^{-10} y^5 = \frac{y^5}{x^{10}}$
Ответ: $\frac{y^5}{x^{10}}$

5) Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на обратное выражение:
$\frac{5a^3}{b^2} : (15a^2b) = \frac{5a^3}{b^2} \cdot \frac{1}{15a^2b} = \frac{5a^3}{15a^2b^3}$
Сократим числовые коэффициенты (5 и 15) на 5, а также степени переменных $a$ и $b$:
$\frac{a^{3-2}}{3b^3} = \frac{a}{3b^3}$
Ответ: $\frac{a}{3b^3}$

6) Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{6x - 30}{3x + 5} : \frac{x^2 - 25}{6x + 10} = \frac{6x - 30}{3x + 5} \cdot \frac{6x + 10}{x^2 - 25}$
Разложим числители и знаменатели на множители:
$6x - 30 = 6(x-5)$
$6x + 10 = 2(3x+5)$
$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (разность квадратов)
Подставим разложенные выражения и сократим общие множители:
$\frac{6(x-5)}{3x+5} \cdot \frac{2(3x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{6 \cdot 2 \cdot (x-5)(3x+5)}{(3x+5)(x-5)(x+5)}$
После сокращения одинаковых множителей $(x-5)$ и $(3x+5)$ получаем:
$\frac{12}{x+5}$
Ответ: $\frac{12}{x+5}$

4. Найдите значение выражения $(a-6) : \frac{a^2 - 12a + 36}{a+6}$, если $a = -10$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Исходное выражение:

$(a - 6) : \frac{a^2 - 12a + 36}{a + 6}$

Числитель дроби $a^2 - 12a + 36$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a$ и $y = 6$, поэтому:

$a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$

Теперь заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь и подставим полученный квадрат разности:

$(a - 6) \cdot \frac{a + 6}{(a - 6)^2}$

Сократим общий множитель $(a - 6)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как при $a = -10$, выражение $a - 6 \neq 0$):

$\frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)^2} = \frac{a + 6}{a - 6}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $a = -10$:

$\frac{-10 + 6}{-10 - 6} = \frac{-4}{-16}$

Разделив числитель на знаменатель, получаем:

$\frac{-4}{-16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$

Ответ: 0.25