Страница 47 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Представьте выражение $\frac{a^{-10}}{a^{-7} \cdot a^{-5}}$ в виде степени с основанием $a$.

1) $a^2$

2) $a^{-22}$

3) $a^4$

4) $a^{-2}$

Чтобы представить выражение $\frac{a^{-10}}{a^{-7} \cdot a^{-5}}$ в виде степени с основанием $a$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Сначала выполним действие в знаменателе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это свойство к знаменателю дроби:

$a^{-7} \cdot a^{-5} = a^{-7 + (-5)} = a^{-12}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\frac{a^{-10}}{a^{-12}}$

Далее, при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя, согласно свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Применим это свойство к полученной дроби:

$\frac{a^{-10}}{a^{-12}} = a^{-10 - (-12)} = a^{-10 + 12} = a^2$

Полученный результат $a^2$ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $a^2$

2. Укажите значение выражения $5^{-9} \cdot (5^{-4})^{-3}$.

1) $-\frac{1}{125}$

2) $\frac{1}{125}$

3) $-125$

4) $125$

Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойствами степеней. Исходное выражение: $5^{-9} \cdot (5^{-4})^{-3}$.

Сначала упростим второй множитель $(5^{-4})^{-3}$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(5^{-4})^{-3} = 5^{(-4) \cdot (-3)} = 5^{12}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$5^{-9} \cdot 5^{12}$

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

$5^{-9} \cdot 5^{12} = 5^{-9+12} = 5^3$

Осталось вычислить полученное значение:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

3. Найдите значение выражения $16x^{-7}y^9 \cdot \left(1\frac{1}{3}x^{-3}y^4\right)^{-3}$

при $x = -2, y = 3.$

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, используя свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$.

Исходное выражение:

$16x^{-7}y^9 \cdot \left(\frac{1}{3}x^{-3}y^4\right)^{-3}$

1. Упростим вторую часть выражения, возведя каждый множитель в скобках в степень -3:

$\left(\frac{1}{3}x^{-3}y^4\right)^{-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^4)^{-3} = 3^3 \cdot x^{(-3) \cdot (-3)} \cdot y^{4 \cdot (-3)} = 27x^9y^{-12}$

2. Теперь умножим первую часть выражения на результат, полученный в шаге 1:

$16x^{-7}y^9 \cdot (27x^9y^{-12})$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(16 \cdot 27) \cdot (x^{-7} \cdot x^9) \cdot (y^9 \cdot y^{-12})$

Выполним умножение:

$432 \cdot x^{-7+9} \cdot y^{9+(-12)} = 432x^2y^{-3}$

Упрощенное выражение можно записать в виде дроби:

$\frac{432x^2}{y^3}$

3. Подставим в полученное выражение значения $x = -2$ и $y = 3$:

$\frac{432 \cdot (-2)^2}{3^3} = \frac{432 \cdot 4}{27}$

4. Вычислим результат. Сократим 432 и 27. $432 \div 27 = 16$.

$\frac{432 \cdot 4}{27} = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

4. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $(2.8 \cdot 10^{-4}) \cdot (4.5 \cdot 10^{7})$;

2) $\frac{9.6 \cdot 10^{-9}}{16 \cdot 10^{-5}}$.

1) Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их мантиссы (числовые множители) и отдельно степени десяти, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(2,8 \cdot 10^{-4}) \cdot (4,5 \cdot 10^{7}) = (2,8 \cdot 4,5) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{7})$

Вычислим произведение мантисс: $2,8 \cdot 4,5 = 12,6$.

Вычислим произведение степеней: $10^{-4} \cdot 10^{7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Получаем: $12,6 \cdot 10^3$.

Результат нужно записать в стандартном виде, то есть в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Поскольку $12,6 > 10$, представим это число в стандартном виде: $12,6 = 1,26 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение:

$(1,26 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 1,26 \cdot 10^{1+3} = 1,26 \cdot 10^4$.

Ответ: $1,26 \cdot 10^4$.

2) Чтобы выполнить деление чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно степени десяти, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{9,6 \cdot 10^{-9}}{16 \cdot 10^{-5}} = \frac{9,6}{16} \cdot \frac{10^{-9}}{10^{-5}}$

Вычислим частное мантисс: $\frac{9,6}{16} = 0,6$.

Вычислим частное степеней: $\frac{10^{-9}}{10^{-5}} = 10^{-9 - (-5)} = 10^{-9+5} = 10^{-4}$.

Получаем: $0,6 \cdot 10^{-4}$.

Приведем результат к стандартному виду. Поскольку $0,6 < 1$, представим это число в стандартном виде: $0,6 = 6 \cdot 10^{-1}$.

Подставим это в наше выражение:

$(6 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-4} = 6 \cdot 10^{-1+(-4)} = 6 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: $6 \cdot 10^{-5}$.

5. Найдите значение выражения $ \frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8} $.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо последовательно его упростить, используя свойства степеней.

Исходное выражение:
$\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 1: Разложим основания 21 и 63 на простые множители. Это позволит нам работать со степенями с одинаковыми основаниями.
$21 = 3 \cdot 7$
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

Шаг 2: Подставим полученные разложения в исходное выражение.
$\frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 3: Раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2)^{-2} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 4: Упростим числитель и знаменатель, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями и применив свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель: $3^5 \cdot 3^{-7} \cdot 7^5 = 3^{5+(-7)} \cdot 7^5 = 3^{-2} \cdot 7^5$
Знаменатель: $3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8 = 3^{-4} \cdot 7^{-2+8} = 3^{-4} \cdot 7^6$

Шаг 5: Запишем выражение с упрощенными числителем и знаменателем.
$\frac{3^{-2} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^6}$

Шаг 6: Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания.
$3^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 3^{-2+4} \cdot 7^{-1} = 3^2 \cdot 7^{-1}$

Шаг 7: Вычислим финальное значение. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$3^2 \cdot 7^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{9}{7}$

6. Упростите выражение

$\left(\frac{2a^{-1} + 1}{a^{-2} + 6a^{-1} + 9} - \frac{a^{-1} - 2}{a^{-2} + 3a^{-1}}\right) \cdot \frac{a^{-3} - 9a^{-1}}{a^{-2} + 6}$

и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $x = a^{-1}$. Тогда $a^{-2} = (a^{-1})^2 = x^2$ и $a^{-3} = (a^{-1})^3 = x^3$.

Перепишем исходное выражение с новой переменной:

$\left( \frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} - \frac{x - 2}{x^2 + 3x} \right) \cdot \frac{x^3 - 9x}{x^2 + 6}$

Теперь упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 3x = x(x+3)$.

Общий знаменатель: $x(x+3)^2$.

$\frac{2x + 1}{(x+3)^2} - \frac{x - 2}{x(x+3)} = \frac{x(2x + 1)}{x(x+3)^2} - \frac{(x - 2)(x+3)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - (x^2 + 3x - 2x - 6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - (x^2 + x - 6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - x^2 - x + 6}{x(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2}$

2. Упростим второй множитель, разложив числитель на множители:

$\frac{x^3 - 9x}{x^2 + 6} = \frac{x(x^2 - 9)}{x^2 + 6} = \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2 + 6}$

3. Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2 + 6}$

Сократим общие множители $x$, $(x+3)$ и $(x^2+6)$:

$\frac{\cancel{x^2 + 6}}{\cancel{x}(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x^2 + 6}} = \frac{x-3}{x+3}$

4. Выполним обратную замену $x = a^{-1}$:

$\frac{a^{-1} - 3}{a^{-1} + 3}$

5. Преобразуем полученное выражение в рациональное, не содержащее степени с отрицательным показателем. Для этого заменим $a^{-1}$ на $\frac{1}{a}$ и умножим числитель и знаменатель на $a$:

$\frac{\frac{1}{a} - 3}{\frac{1}{a} + 3} = \frac{a \cdot (\frac{1}{a} - 3)}{a \cdot (\frac{1}{a} + 3)} = \frac{a \cdot \frac{1}{a} - a \cdot 3}{a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 3} = \frac{1 - 3a}{1 + 3a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 3a}$