Страница 61 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неверное утверждение.

1) $-3 \in \mathbb{Z}$

2) $275 \in \mathbb{Q}$

3) $7,1 \in \mathbb{N}$

4) $-1\frac{3}{7} \in \mathbb{R}$

Для того чтобы найти неверное утверждение, проанализируем каждое из предложенных выражений, определив, к каким множествам чисел относятся указанные значения.

1) Утверждение $-3 \in Z$. Множество целых чисел ($Z$) включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа, а также ноль ($Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$). Поскольку -3 является целым отрицательным числом, оно принадлежит этому множеству. Таким образом, данное утверждение верно.

2) Утверждение $275 \in Q$. Множество рациональных чисел ($Q$) содержит все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Любое целое число, включая 275, можно представить в таком виде, например, как $\frac{275}{1}$. Следовательно, 275 является рациональным числом. Данное утверждение верно.

3) Утверждение $7,1 \in N$. Множество натуральных чисел ($N$) — это числа, используемые при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число 7,1 является десятичной дробью и не является целым числом, поэтому оно не может быть натуральным. Данное утверждение неверно.

4) Утверждение $-1\frac{3}{7} \in R$. Множество действительных чисел ($R$) включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число $-1\frac{3}{7}$ можно представить в виде обыкновенной дроби $-\frac{10}{7}$, что делает его рациональным числом. Поскольку все рациональные числа являются действительными ($Q \subset R$), данное утверждение верно.

В результате анализа установлено, что единственным неверным утверждением является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{25}$

2) $\sqrt{0,25}$

3) $\sqrt{0,025}$

4) $\sqrt{2500}$

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Квадратный корень из неотрицательного числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является полным квадратом рационального числа. Чтобы найти иррациональное число среди предложенных, проанализируем каждый вариант.

1) $\sqrt{25}$
Поскольку $5^2 = 25$, то $\sqrt{25} = 5$. Число 5 является целым, а следовательно, и рациональным.

2) $\sqrt{0,25}$
Можно представить $0,25$ как $0,5^2$. Тогда $\sqrt{0,25} = 0,5$. Число 0,5 является конечной десятичной дробью, поэтому оно рациональное (равно $\frac{1}{2}$).

3) $\sqrt{0,025}$
Представим подкоренное выражение в виде дроби: $0,025 = \frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$. Тогда $\sqrt{0,025} = \sqrt{\frac{1}{40}} = \frac{1}{\sqrt{40}}$. Число 40 не является полным квадратом целого числа (например, $6^2 = 36$, а $7^2 = 49$), поэтому $\sqrt{40}$ является иррациональным числом. Деление рационального числа (1) на иррациональное ($\sqrt{40}$) дает в результате иррациональное число. Таким образом, $\sqrt{0,025}$ — иррациональное число.

4) $\sqrt{2500}$
Поскольку $50^2 = 2500$, то $\sqrt{2500} = 50$. Число 50 является целым, а значит, и рациональным.

Итак, из всех предложенных чисел только $\sqrt{0,025}$ является иррациональным.

Ответ: 3

3. Пусть $A$ — множество цифр числа 54 948, $B$ — множество цифр числа 23 558.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество $A$ и множество $B$.

2) Найдите пересечение множеств $A$ и $B$.

3) Найдите объединение множеств $A$ и $B$.

4) Запишите все трёхэлементные подмножества множества $A$.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество А и множество В.

Множество A состоит из уникальных цифр числа 54 948. Цифры этого числа: 5, 4, 9, 4, 8. Убирая повторения, получаем элементы множества A.
$A = \{4, 5, 8, 9\}$
Множество B состоит из уникальных цифр числа 23 558. Цифры этого числа: 2, 3, 5, 5, 8. Убирая повторения, получаем элементы множества B.
$B = \{2, 3, 5, 8\}$
Ответ: $A = \{4, 5, 8, 9\}$; $B = \{2, 3, 5, 8\}$.

2) Найдите пересечение множеств А и В.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.
$A = \{4, 5, 8, 9\}$
$B = \{2, 3, 5, 8\}$
Сравнивая элементы множеств, мы видим, что общими являются цифры 5 и 8.
Ответ: $A \cap B = \{5, 8\}$.

3) Найдите объединение множеств А и В.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств (A или B).
$A = \{4, 5, 8, 9\}$
$B = \{2, 3, 5, 8\}$
Чтобы найти объединение, мы собираем все уникальные элементы из обоих множеств: 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Ответ: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 8, 9\}$.

4) Запишите все трёхэлементные подмножества множества А.

Множество $A = \{4, 5, 8, 9\}$ содержит 4 элемента. Нам нужно найти все возможные комбинации из 3 элементов этого множества. Количество таких подмножеств равно числу сочетаний из 4 по 3, то есть $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Чтобы найти эти подмножества, можно поочерёдно убирать по одному элементу из множества A:
1. Убираем элемент 9: получаем $\{4, 5, 8\}$
2. Убираем элемент 8: получаем $\{4, 5, 9\}$
3. Убираем элемент 5: получаем $\{4, 8, 9\}$
4. Убираем элемент 4: получаем $\{5, 8, 9\}$
Ответ: $\{4, 5, 8\}$; $\{4, 5, 9\}$; $\{4, 8, 9\}$; $\{5, 8, 9\}$.

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $x^2 - 9x = 0;$

2) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 81} = 0;$

3) $\sqrt{x+1} = -1.$

1) $x^2 - 9x = 0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x = 0$

или

$x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $0$ и $9$. Множество корней уравнения — это $\{0, 9\}$.

Ответ: $\{0, 9\}$

2) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 81} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9x = 0 \\ x^2 - 81 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 - 9x = 0$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, его корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив условие $x^2 - 81 \neq 0$.

$x^2 \neq 81$

$x \neq \pm\sqrt{81}$

$x \neq 9$ и $x \neq -9$

3. Теперь проверим, удовлетворяют ли корни числителя ($0$ и $9$) области допустимых значений.

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \neq 9$ и $0 \neq -9$. Следовательно, $x=0$ является корнем исходного уравнения.

Корень $x = 9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=9$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=9$ является посторонним корнем и не входит в решение.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень. Множество корней — это $\{0\}$.

Ответ: $\{0\}$

3) $\sqrt{x+1} = -1$

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это означает, что левая часть уравнения, $\sqrt{x+1}$, не может быть отрицательной, то есть $\sqrt{x+1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Правая часть уравнения равна $-1$, то есть является отрицательным числом.

Так как неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Множество корней является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

5. Сравните числа:

1) $ \frac{11}{13} $ и $ 0,85 $;

2) $ -4,(18) $ и $ -4,(17) $.

1) Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{11}{13}$ и десятичную дробь $0,85$, приведем обыкновенную дробь к десятичному виду. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$11 \div 13 \approx 0,84615...$

Теперь сравним полученное число $0,846...$ с числом $0,85$. Сравнение десятичных дробей производят поразрядно, слева направо.

• Целые части равны: $0 = 0$.
• Цифры в разряде десятых равны: $8 = 8$.
• Цифры в разряде сотых различаются: $4 < 5$.

Поскольку в разряде сотых цифра у первого числа меньше, чем у второго, то и само первое число меньше второго: $0,846... < 0,85$.

Следовательно, $\frac{11}{13} < 0,85$.

Ответ: $\frac{11}{13} < 0,85$.

2) Необходимо сравнить два отрицательных периодических числа: $-4,(18)$ и $-4,(17)$.

Запишем эти числа в развернутом виде, чтобы увидеть их знаки после запятой:

$-4,(18) = -4,181818...$

$-4,(17) = -4,171717...$

При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Сравним модули данных чисел: $|-4,(18)| = 4,181818...$ и $|-4,(17)| = 4,171717...$.

Сравним $4,181818...$ и $4,171717...$ поразрядно:

• Целые части равны: $4 = 4$.
• Цифры в разряде десятых равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотых различаются: $8 > 7$.

Так как $8 > 7$, то $4,181818... > 4,171717...$. Это значит, что $|-4,(18)| > |-4,(17)|$.

Поскольку для отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше, то знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-4,(18) < -4,(17)$.

Ответ: $-4,(18) < -4,(17)$.