Страница 70 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите выражение, тождественно равное выражению

$\sqrt{81x} + \sqrt{49x} - \sqrt{100x}$.

1) $6\sqrt{x}$

2) $13\sqrt{x}$

3) $6x$

4) $13x$

Чтобы найти выражение, тождественно равное данному, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\sqrt{81x} + \sqrt{49x} - \sqrt{100x}$.

Для упрощения воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$). Данное свойство применимо, так как по области определения квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.

Разобьем каждый член выражения на множители и извлечем корень:

• $\sqrt{81x} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{x} = 9\sqrt{x}$
• $\sqrt{49x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x} = 7\sqrt{x}$
• $\sqrt{100x} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x} = 10\sqrt{x}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$9\sqrt{x} + 7\sqrt{x} - 10\sqrt{x}$

Так как все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt{x}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты (привести подобные слагаемые):

$(9 + 7 - 10)\sqrt{x} = (16 - 10)\sqrt{x} = 6\sqrt{x}$

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $6\sqrt{x}$. Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 1.

Ответ: 1) $6\sqrt{x}$

2. Чему равно значение выражения $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 + \sqrt{24}$?

1) 1

2) 5

3) $5 - 2\sqrt{6}$

4) $5 + 2\sqrt{6}$

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{24}$, необходимо последовательно упростить каждое слагаемое, а затем выполнить сложение.

1. Упрощение первого слагаемого $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{2}$:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Выполним вычисления:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

2. Упрощение второго слагаемого $\sqrt{24}$

Для упрощения корня из 24 необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 24 на множители, один из которых является полным квадратом:

$24 = 4 \cdot 6$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

3. Сложение результатов

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{24} = (5 - 2\sqrt{6}) + 2\sqrt{6}$

Выполним сложение:

$5 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 5$

Слагаемые $-2\sqrt{6}$ и $2\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются.

Таким образом, значение всего выражения равно 5.

Ответ: 5

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{a^{19}};$

2) $\sqrt{-b^{11}};$

3) $\sqrt{x^{10}y^7}$, если $x < 0$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Выражение $\sqrt{a^{19}}$ имеет смысл только при $a^{19} \ge 0$, что, учитывая нечетную степень, эквивалентно $a \ge 0$.

Представим $a^{19}$ как $a^{18} \cdot a$. Степень 18 является четной.

$\sqrt{a^{19}} = \sqrt{a^{18} \cdot a} = \sqrt{(a^9)^2 \cdot a}$

Используя свойство корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и $\sqrt{z^2} = |z|$, получаем:

$\sqrt{(a^9)^2 \cdot a} = \sqrt{(a^9)^2} \cdot \sqrt{a} = |a^9| \cdot \sqrt{a}$

Так как по области определения $a \ge 0$, то $a^9 \ge 0$, и следовательно, $|a^9| = a^9$.

Таким образом, $\sqrt{a^{19}} = a^9\sqrt{a}$.

Ответ: $a^9\sqrt{a}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{-b^{11}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-b^{11} \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: $b^{11} \le 0$.

Так как степень нечетная, это условие выполняется при $b \le 0$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Представим $-b^{11}$ как произведение, содержащее множитель в четной степени.

$-b^{11} = b^{10} \cdot (-b)$. Так как $b \le 0$, то множитель $(-b) \ge 0$, и выражение имеет смысл.

$\sqrt{-b^{11}} = \sqrt{b^{10} \cdot (-b)} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{-b}$

Преобразуем $\sqrt{b^{10}}$:

$\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$

Поскольку $b \le 0$, то $b^5$ (нечетная степень) также будет меньше или равно нулю ($b^5 \le 0$).

Следовательно, по определению модуля, $|b^5| = -b^5$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{-b^{11}} = |b^5|\sqrt{-b} = -b^5\sqrt{-b}$.

Ответ: $-b^5\sqrt{-b}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{10}y^7}$ при условии $x < 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{10}y^7 \ge 0$.

Поскольку $x^{10} = (x^5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $y^7 \ge 0$. Так как степень 7 нечетная, это означает, что $y \ge 0$.

Теперь вынесем множители из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами.

$x^{10}y^7 = x^{10} \cdot y^6 \cdot y$

$\sqrt{x^{10}y^7} = \sqrt{x^{10} \cdot y^6 \cdot y} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^6} \cdot \sqrt{y}$

Используем правило $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

$\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$

$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$

Теперь раскроем модули с учетом заданных условий.

По условию $x < 0$. Так как степень 5 нечетная, то $x^5 < 0$. Следовательно, $|x^5| = -x^5$.

Из области определения мы выяснили, что $y \ge 0$. Так как степень 3 нечетная, то $y^3 \ge 0$. Следовательно, $|y^3| = y^3$.

Подставим полученные выражения обратно:

$\sqrt{x^{10}y^7} = |x^5| \cdot |y^3| \cdot \sqrt{y} = (-x^5) \cdot y^3 \cdot \sqrt{y} = -x^5y^3\sqrt{y}$.

Ответ: $-x^5y^3\sqrt{y}$

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $ - \frac{5}{8}\sqrt{24} $;

2) $ 3m\sqrt{\frac{m^3}{3}} $.

1) Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение. Для выражения $\frac{5}{8}\sqrt{24}$ множитель $\frac{5}{8}$ является положительным.
Внесем множитель под знак корня:
$\frac{5}{8}\sqrt{24} = \sqrt{(\frac{5}{8})^2 \cdot 24} = \sqrt{\frac{25}{64} \cdot 24}$.
Теперь упростим выражение под корнем, выполнив умножение и сократив дробь (24 и 64 делятся на 8):
$\sqrt{\frac{25 \cdot 24}{64}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{8}} = \sqrt{\frac{75}{8}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{75}{8}}$

2) В выражении $3m\sqrt{\frac{m^3}{3}}$ подкоренное выражение $\frac{m^3}{3}$ должно быть неотрицательным, то есть $\frac{m^3}{3} \geq 0$, что выполняется при $m \geq 0$. Следовательно, множитель $3m$ также является неотрицательным.
Внесем неотрицательный множитель $3m$ под знак корня, возведя его в квадрат:
$3m\sqrt{\frac{m^3}{3}} = \sqrt{(3m)^2 \cdot \frac{m^3}{3}} = \sqrt{9m^2 \cdot \frac{m^3}{3}}$.
Упростим полученное подкоренное выражение:
$\sqrt{\frac{9m^2 \cdot m^3}{3}} = \sqrt{3 \cdot m^2 \cdot m^3} = \sqrt{3m^{2+3}} = \sqrt{3m^5}$.
Ответ: $\sqrt{3m^5}$

5. Найдите значение выражения

$(2\sqrt{54} - 6\sqrt{24} + \sqrt{150}) \cdot 3\sqrt{6}$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим каждый член в скобках, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

1. Упростим $2\sqrt{54}$:
$54 = 9 \cdot 6 = 3^2 \cdot 6$.
Следовательно, $2\sqrt{54} = 2\sqrt{9 \cdot 6} = 2 \cdot (\sqrt{9} \cdot \sqrt{6}) = 2 \cdot 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

2. Упростим $6\sqrt{24}$:
$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 6$.
Следовательно, $6\sqrt{24} = 6\sqrt{4 \cdot 6} = 6 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}) = 6 \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

3. Упростим $\sqrt{150}$:
$150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$.
Следовательно, $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$.

4. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение:
$(2\sqrt{54} - 6\sqrt{24} + \sqrt{150}) \cdot 3\sqrt{6} = (6\sqrt{6} - 12\sqrt{6} + 5\sqrt{6}) \cdot 3\sqrt{6}$.

5. Выполним действия в скобках. Так как все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{6}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$6\sqrt{6} - 12\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = (6 - 12 + 5)\sqrt{6} = (-6 + 5)\sqrt{6} = -1\sqrt{6} = -\sqrt{6}$.

6. Выполним умножение:
$(-\sqrt{6}) \cdot 3\sqrt{6} = -3 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}) = -3 \cdot 6 = -18$.

Ответ: -18

6. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{7}}>;$

2) $\frac{y - 16}{\sqrt{y} + 4}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$, разложим числитель на множители.

Представим $\sqrt{21}$ в виде произведения корней: $\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{7}}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $\sqrt{7}$:

$\sqrt{3} + 1$

Ответ: $\sqrt{3} + 1$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{y - 16}{\sqrt{y} + 4}$, представим числитель в виде произведения, используя формулу разности квадратов.

Заметим, что числитель $y - 16$ можно представить как разность квадратов, так как $y = (\sqrt{y})^2$ и $16 = 4^2$ (при условии $y \ge 0$, что следует из наличия $\sqrt{y}$ в знаменателе).

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y - 16 = (\sqrt{y})^2 - 4^2 = (\sqrt{y} - 4)(\sqrt{y} + 4)$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt{y} - 4)(\sqrt{y} + 4)}{\sqrt{y} + 4}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{y} + 4)$:

$\sqrt{y} - 4$

Ответ: $\sqrt{y} - 4$

7. Найдите значение выражения $ \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} $

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей этих дробей: $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$.

Вычислим значение общего знаменателя, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Теперь, когда мы нашли общий знаменатель, приведем дроби к нему и выполним вычитание. Для этого домножим числитель первой дроби на $(2 + \sqrt{3})$, а числитель второй дроби на $(2 - \sqrt{3})$:

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} - \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}{1}$.

Теперь упростим получившийся числитель, раскрыв скобки:

$(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = (2-2) + (\sqrt{3}+\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.

Таким образом, значение исходного выражения равно:

$\frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.