Страница 75 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении аргумента значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 100?

1) 1000

2) 10 000

3) 10

4) 100

1.

Нам дана функция $y = \sqrt{x}$. По условию задачи, значение функции равно 100. Необходимо найти соответствующее значение аргумента $x$.

Для этого подставим $y = 100$ в уравнение функции:
$100 = \sqrt{x}$

Чтобы найти $x$, нужно избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:
$100^2 = (\sqrt{x})^2$

Теперь выполним вычисления:
$x = 100 \cdot 100$
$x = 10000$

Таким образом, при значении аргумента $x = 10000$, значение функции $y$ равно 100. В предложенных вариантах этот ответ соответствует номеру 2.

Ответ: 10 000

2. Координата точки C, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{34}$

2) $\sqrt{38}$

3) $\sqrt{47}$

4) $\sqrt{52}$

Из рисунка видно, что точка C расположена на числовой прямой между числами 6 и 7. Следовательно, её координата удовлетворяет неравенству $6 < C < 7$.

Чтобы определить, какое из предложенных чисел соответствует точке C, сравним их с границами интервала (6; 7). Для этого удобно возвести в квадрат все части неравенства, а также предложенные числа:$6^2 < C^2 < 7^2$$36 < C^2 < 49$

Теперь рассмотрим каждый из вариантов:

1) $\sqrt{34}$
Возведём число в квадрат: $(\sqrt{34})^2 = 34$. Число 34 не принадлежит интервалу (36; 49), так как $34 < 36$. Это означает, что $\sqrt{34} < 6$. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $\sqrt{38}$
Возведём число в квадрат: $(\sqrt{38})^2 = 38$. Число 38 принадлежит интервалу (36; 49), так как $36 < 38 < 49$. Это означает, что $6 < \sqrt{38} < 7$. Этот вариант может быть правильным.

3) $\sqrt{47}$
Возведём число в квадрат: $(\sqrt{47})^2 = 47$. Число 47 принадлежит интервалу (36; 49), так как $36 < 47 < 49$. Это означает, что $6 < \sqrt{47} < 7$. Этот вариант также может быть правильным.

4) $\sqrt{52}$
Возведём число в квадрат: $(\sqrt{52})^2 = 52$. Число 52 не принадлежит интервалу (36; 49), так как $52 > 49$. Это означает, что $\sqrt{52} > 7$. Следовательно, этот вариант не подходит.

Мы получили два подходящих варианта: $\sqrt{38}$ и $\sqrt{47}$. Чтобы выбрать верный, обратим внимание на положение точки C на отрезке [6; 7]. Точка C находится ближе к 6, чем к 7. Это значит, что её координата меньше, чем середина отрезка, то есть меньше 6,5.

Сравним оставшиеся варианты с числом 6,5. Для этого снова воспользуемся возведением в квадрат:$6.5^2 = 42.25$

Сравним квадраты наших чисел с 42,25:

• $(\sqrt{38})^2 = 38$. Так как $38 < 42.25$, то $\sqrt{38} < 6.5$.
• $(\sqrt{47})^2 = 47$. Так как $47 > 42.25$, то $\sqrt{47} > 6.5$.

Поскольку координата точки C меньше 6,5, то ей соответствует число $\sqrt{38}$.

Ответ: 2

3. Сравните:

1) 11 и $\sqrt{119}$;

2) $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$;

3) $6\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $4\sqrt{\frac{3}{4}}$.

1) 11 и $\sqrt{119}$
Чтобы сравнить данные числа, возведем оба в квадрат. Поскольку оба числа положительные, знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.
$11^2 = 121$
$(\sqrt{119})^2 = 119$
Теперь сравним полученные результаты: $121$ и $119$.
Так как $121 > 119$, то и $11 > \sqrt{119}$.
Ответ: $11 > \sqrt{119}$.

2) $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$
Чтобы сравнить два выражения, возведем каждое из них в квадрат. Оба выражения положительны, поэтому знак неравенства сохранится.
$(5\sqrt{6})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150$.
$(6\sqrt{5})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$.
Теперь сравним полученные результаты: $150$ и $180$.
Так как $150 < 180$, то и $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.

3) $6\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $4\sqrt{\frac{3}{4}}$
Чтобы сравнить данные выражения, возведем каждое из них в квадрат. Оба выражения положительны, поэтому знак отношения между ними сохранится.
$(6\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
$(4\sqrt{\frac{3}{4}})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{\frac{3}{4}})^2 = 16 \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 4 \cdot 3 = 12$.
Теперь сравним полученные результаты: $12$ и $12$.
Так как результаты равны, то и исходные выражения равны.
Ответ: $6\sqrt{\frac{1}{3}} = 4\sqrt{\frac{3}{4}}$.

4. При каких значениях x выполняется неравенство:
1) $\sqrt{x} \le 14;$
2) $9 \le \sqrt{x} < 10?$

1)

Для решения неравенства $\sqrt{x} \le 14$ необходимо выполнить два шага.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$.
Затем решим само неравенство. Так как обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 14) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le 14^2$
$x \le 196$
Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 196 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток от 0 включительно до 196 включительно.
Ответ: $x \in [0; 196]$.

2)

Рассмотрим двойное неравенство $9 \le \sqrt{x} < 10$.
Область допустимых значений (ОДЗ) здесь также определяется условием $x \ge 0$.
Все части двойного неравенства (9, $\sqrt{x}$ и 10) являются положительными. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, не меняя знаков неравенства:
$9^2 \le (\sqrt{x})^2 < 10^2$
$81 \le x < 100$
Полученное решение $81 \le x < 100$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как все значения в этом интервале положительны. Следовательно, это и есть окончательный ответ.
Ответ: $x \in [81; 100)$.

5. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 1, \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

и определите, при каких значениях а прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика рассмотрим каждый участок по отдельности.

1. На промежутке $0 \le x \le 1$ функция задана как $f(x) = \sqrt{x}$. Это часть стандартного графика функции квадратного корня. Определим координаты крайних точек этого участка:

• При $x=0$, $f(0) = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $f(1) = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.

На этом отрезке график представляет собой кривую, соединяющую точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $x > 1$ функция задана как $f(x) = 2 - x$. Это линейная функция, её график — часть прямой (луч). Найдём начальную точку луча. Так как неравенство $x > 1$ строгое, сама точка $x=1$ не входит в этот промежуток, но мы можем найти предел функции в этой точке, чтобы понять, откуда начинается луч:

• При $x \to 1^+$, $f(x) \to 2 - 1 = 1$. Начальная точка луча — $(1, 1)$ (выколотая для этого куска).

Поскольку на первом участке в точке $x=1$ функция принимает значение $f(1)=1$, график функции является непрерывным в точке $x=1$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью абсцисс ($f(x)=0$):

• $2 - x = 0 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Таким образом, для $x > 1$ график — это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, 0)$.

Итоговый график функции $f(x)$ состоит из участка кривой $y=\sqrt{x}$ от точки $(0,0)$ до $(1,1)$ и луча $y=2-x$, начинающегося в точке $(1,1)$ и уходящего вправо и вниз.

Определите, при каких значениях а прямая y = a будет иметь с графиком функции f единственную общую точку

Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в одной точке. Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $a$, двигая прямую $y=a$ снизу вверх.

1. Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ox. Она не пересекает график $y=\sqrt{x}$ (поскольку $\sqrt{x} \ge 0$), но пересекает луч $y=2-x$ в одной точке (так как этот луч уходит в $-\infty$). Следовательно, при $a < 0$ имеется одна общая точка.

2. Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox. Она пересекает график в двух точках: $(0, 0)$ (из первой части функции) и $(2, 0)$ (из второй части функции). Следовательно, при $a=0$ имеются две общие точки.

3. Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает и криволинейный участок $y=\sqrt{x}$ (в точке с абсциссой $x=a^2$), и прямолинейный участок $y=2-x$ (в точке с абсциссой $x=2-a$). Следовательно, при $0 < a < 1$ имеются две общие точки.

4. Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через "стык" двух участков графика — точку $(1, 1)$. Это единственная точка пересечения. Следовательно, при $a=1$ имеется одна общая точка.

5. Если $a > 1$, прямая $y=a$ проходит выше самой высокой точки графика $(1, 1)$ и, следовательно, не имеет с ним общих точек.

Объединяя результаты анализа, получаем, что график функции имеет единственную общую точку с прямой $y=a$ при $a < 0$ и при $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$.

6. Упростите выражение $\sqrt{(8-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:

$\sqrt{(8-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = |8-\sqrt{7}| + |2-\sqrt{7}|$

Теперь нам нужно раскрыть модули. Для этого определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

1. Оценим знак выражения $8-\sqrt{7}$.
Сравним числа $8$ и $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$.
Поскольку $8 > 3$, то $8 > \sqrt{7}$, а значит, разность $8-\sqrt{7}$ является положительным числом ($8-\sqrt{7} > 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем положительное, то модуль равен самому выражению: $|8-\sqrt{7}| = 8-\sqrt{7}$.

2. Оценим знак выражения $2-\sqrt{7}$.
Как мы уже установили, $2 < \sqrt{7}$ (поскольку $2^2=4$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $4 < 7$).
Следовательно, разность $2-\sqrt{7}$ является отрицательным числом ($2-\sqrt{7} < 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем отрицательное, то модуль равен противоположному выражению: $|2-\sqrt{7}| = -(2-\sqrt{7}) = -2+\sqrt{7} = \sqrt{7}-2$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$|8-\sqrt{7}| + |2-\sqrt{7}| = (8-\sqrt{7}) + (\sqrt{7}-2)$

Теперь выполним сложение и приведем подобные слагаемые:

$8 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = (8 - 2) + (-\sqrt{7} + \sqrt{7}) = 6 + 0 = 6$

Ответ: 6