Страница 82 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен дискриминант уравнения $x^2 - x - 3 = 0$?

1) $-11$

2) $13$

3) $7$

4) $-6$

1.

Заданное уравнение $x^2 - x - 3 = 0$ является квадратным уравнением общего вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Формула для вычисления дискриминанта ($D$) квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

Определим коэффициенты в нашем уравнении:
$a = 1$ (коэффициент при $x^2$)
$b = -1$ (коэффициент при $x$)
$c = -3$ (свободный член)

Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)$

Выполним вычисления:
$D = 1 - (-12)$
$D = 1 + 12$
$D = 13$

Дискриминант уравнения равен 13. Это соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 13.

2. Какое из данных уравнений имеет единственный корень?

1) $x^2 + 6x + 3 = 0$

2) $x^2 - 8x + 4 = 0$

3) $0,25x^2 - x + 1 = 0$

4) $x^2 + x - 5 = 0$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Проанализируем каждое из предложенных уравнений.

1) $x^2 + 6x + 3 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 6$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

2) $x^2 - 8x + 4 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -8$, $c = 4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

3) $0,25x^2 - x + 1 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 0,25$, $b = -1$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 0,25 \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень. Это искомое уравнение.

4) $x^2 + x - 5 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -5$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Таким образом, единственное уравнение, имеющее один корень, — это уравнение под номером 3.

Ответ: 3

3. Решите уравнение:

1) $x^2 + 7x - 18 = 0$;

2) $x^2 - 2x - 48 = 0$;

3) $2x^2 - 3x - 1 = 0$;

4) $(2x + 1)(x - 1) = 9$;

5) $\frac{x^2}{2} = \frac{11x - 4}{5}$;

6) $x^2 - 2x + \frac{2}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}$.

1)

Дано квадратное уравнение $x^2 + 7x - 18 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для решения можно воспользоваться теоремой Виета, согласно которой сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В данном случае $p=7$, $q=-18$.

Имеем систему:

$x_1 + x_2 = -7$

$x_1 \cdot x_2 = -18$

Методом подбора находим корни: $x_1 = -9$ и $x_2 = 2$.

Проверка: $-9 + 2 = -7$ и $-9 \cdot 2 = -18$. Корни найдены верно.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

$x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: -9; 2.

2)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - 48 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1, b=-2, c=-48$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: -6; 8.

3)

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 1 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=2, b=-3, c=-1$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$.

4)

Дано уравнение $(2x + 1)(x - 1) = 9$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.

$2x \cdot x + 2x \cdot (-1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-1) = 9$.

$2x^2 - 2x + x - 1 = 9$.

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$2x^2 - x - 1 - 9 = 0$.

$2x^2 - x - 10 = 0$.

Теперь решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Ответ: -2; 2.5.

5)

Дано уравнение $\frac{x^2}{2} = \frac{11x - 4}{5}$.

Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).

$5 \cdot x^2 = 2 \cdot (11x - 4)$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.

$5x^2 = 22x - 8$.

$5x^2 - 22x + 8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 484 - 160 = 324 = 18^2$.

$x_1 = \frac{-(-22) - 18}{2 \cdot 5} = \frac{22 - 18}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$.

$x_2 = \frac{-(-22) + 18}{2 \cdot 5} = \frac{22 + 18}{10} = \frac{40}{10} = 4$.

Ответ: 0.4; 4.

6)

Дано уравнение $x^2 - 2x + \frac{2}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Так как член $\frac{2}{x + 1}$ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его сократить (вычесть из обеих частей).

$x^2 - 2x = 3$.

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим его по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 3.