Страница 87 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма корней уравнения $3x^2 + 12x - 5 = 0$?

1) 12
2) -12
3) 4
4) -4

Для нахождения суммы корней квадратного уравнения $3x^2 + 12x - 5 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$. Для такого уравнения, если оно имеет корни, их сумма ($x_1 + x_2$) вычисляется по формуле:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

В заданном уравнении $3x^2 + 12x - 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 12$, $c = -5$.

Сначала проверим, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 144 + 60 = 204$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем использовать теорему Виета.

Теперь подставим значения коэффициентов $a=3$ и $b=12$ в формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{12}{3} = -4$

Таким образом, сумма корней уравнения равна -4.

Ответ: -4

2. Чему равен коэффициент с уравнения $2x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа -10 и 2?

1) 20 2) -20 3) 40 4) -40

Для нахождения коэффициента $c$ в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, произведение корней уравнения ($x_1$ и $x_2$) равно отношению свободного члена $c$ к старшему коэффициенту $a$.

Формула произведения корней выглядит так:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $2x^2 + bx + c = 0$:
- старший коэффициент $a = 2$;
- корни уравнения $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$.

Подставим известные значения в формулу:
$(-10) \cdot 2 = \frac{c}{2}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $c$:
$-20 = \frac{c}{2}$
Чтобы найти $c$, умножим обе части уравнения на 2:
$c = -20 \cdot 2$
$c = -40$

Таким образом, коэффициент $c$ равен -40.
Ответ: -40

3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{6}$.

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями $x_1$ и $x_2$ можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае корни равны $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{6}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{18}$

3. Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для приведенного квадратного уравнения:

$-p = \frac{1}{6} \implies p = -\frac{1}{6}$

$q = -\frac{1}{18}$

4. Подставим найденные значения $p$ и $q$ в уравнение $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18} = 0$

5. В задаче требуется, чтобы коэффициенты были целыми. Для этого умножим обе части полученного уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 18). Наименьшее общее кратное для 6 и 18 равно 18.

$18 \cdot (x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18}) = 18 \cdot 0$

$18x^2 - 18 \cdot \frac{1}{6}x - 18 \cdot \frac{1}{18} = 0$

$18x^2 - 3x - 1 = 0$

Полученное уравнение является квадратным, и все его коэффициенты (18, -3, -1) — целые числа.

Ответ: $18x^2 - 3x - 1 = 0$.

4. При каком значении $b$ корни уравнения $5x^2 + bx - 30 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $5x^2 + bx - 30 = 0$.

По условию задачи, корни уравнения, обозначим их $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что их сумма равна нулю:

$x_1 + x_2 = 0$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней связана с коэффициентами следующим образом:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты $a=5$, $b$ – искомый параметр, $c=-30$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{5}$

Так как из условия мы знаем, что $x_1 + x_2 = 0$, мы можем составить уравнение для нахождения параметра $b$:

$-\frac{b}{5} = 0$

Умножив обе части на -5, получаем:

$b = 0$

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти корни уравнения. Подставим $b=0$ в исходное уравнение:

$5x^2 + 0 \cdot x - 30 = 0$

$5x^2 - 30 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$5x^2 = 30$

Разделим обе части на 5:

$x^2 = \frac{30}{5}$

$x^2 = 6$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим корни:

$x = \pm\sqrt{6}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$. Они действительно являются противоположными числами, так как $\sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$.

Ответ: при $b = 0$ корни уравнения равны $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$.

5. Один из корней уравнения $4x^2 - 16x + c = 0$ на 2 больше другого. Найдите корни уравнения и значение $c$.

Дано квадратное уравнение $4x^2 - 16x + c = 0$.

Пусть корни этого уравнения – $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, один корень на 2 больше другого. Примем, что $x_2 = x_1 + 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -16$, $c = c$.

Сначала найдем корни уравнения. Подставим коэффициенты в формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-16}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_2 = x_1 + 2 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:

$x_1 + (x_1 + 2) = 4$

$2x_1 + 2 = 4$

$2x_1 = 4 - 2$

$2x_1 = 2$

$x_1 = 1$

Теперь, зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = x_1 + 2 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, корни уравнения – это 1 и 3.

Далее найдем значение коэффициента $c$, используя формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения корней ($x_1=1, x_2=3$) и коэффициента $a=4$:

$1 \cdot 3 = \frac{c}{4}$

$3 = \frac{c}{4}$

Отсюда находим $c$:

$c = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: корни уравнения равны 1 и 3; значение $c$ равно 12.

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 6x - 5 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного квадратного уравнения $x^2 + 6x - 5 = 0$.

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни искомого квадратного уравнения. По условию задачи, эти корни на 3 меньше соответствующих корней исходного уравнения, то есть:

$y_1 = x_1 - 3$

$y_2 = x_2 - 3$

Это означает, что если $x$ является корнем уравнения $x^2 + 6x - 5 = 0$, то $y = x - 3$ является корнем искомого уравнения.

Для того чтобы составить новое уравнение, выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение. Полученное уравнение относительно $y$ будет искомым.

$(y + 3)^2 + 6(y + 3) - 5 = 0$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительный закон:

$(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) + (6 \cdot y + 6 \cdot 3) - 5 = 0$

$(y^2 + 6y + 9) + (6y + 18) - 5 = 0$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 6y + 9 + 6y + 18 - 5 = 0$

$y^2 + (6y + 6y) + (9 + 18 - 5) = 0$

$y^2 + 12y + 22 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение. Традиционно, в качестве переменной в уравнении используется $x$, поэтому запишем ответ с переменной $x$.

Ответ: $x^2 + 12x + 22 = 0$