Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен дискриминант уравнения $x^2 + x - 8 = 0$?

1) -31

2) 17

3) 33

4) 65

Для того чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, необходимо определить его коэффициенты. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном уравнении $x^2 + x - 8 = 0$ коэффициенты равны:

• $a = 1$
• $b = 1$
• $c = -8$

Формула для вычисления дискриминанта ($D$) выглядит следующим образом:

$D = b^2 - 4ac$

Подставим значения коэффициентов в формулу:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)$

Теперь выполним вычисления:

$D = 1 - (-32) = 1 + 32 = 33$

Таким образом, дискриминант уравнения равен 33. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 3).

Ответ: 33

2. Какое из данных уравнений не имеет корней?

1) $x^2 - x - 4 = 0$

2) $x^2 + 4x + 2 = 0$

3) $x^2 - 2x + 2 = 0$

4) $x^2 - 3x - 1 = 0$

Для того чтобы определить, какое из квадратных уравнений не имеет действительных корней, необходимо найти знак его дискриминанта ($D$). Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Проанализируем каждое уравнение.

1) Рассмотрим уравнение $x^2 - x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Поскольку $D = 17 > 0$, у уравнения есть два действительных корня.
Ответ: уравнение имеет корни.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 + 4x + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
Поскольку $D = 8 > 0$, у уравнения есть два действительных корня.
Ответ: уравнение имеет корни.

3) Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Поскольку $D = -4 < 0$, у уравнения нет действительных корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.

4) Рассмотрим уравнение $x^2 - 3x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.
Поскольку $D = 13 > 0$, у уравнения есть два действительных корня.
Ответ: уравнение имеет корни.

Таким образом, единственное уравнение, у которого дискриминант отрицателен и которое не имеет корней, — это уравнение под номером 3.

3. Решите уравнение:

1) $x^2 - 5x - 14 = 0;$

2) $x^2 + 4x - 12 = 0;$

3) $2x^2 + x - 9 = 0;$

4) $(3x - 2)(x + 4) = -11;$

5) $\frac{x^2}{3} = \frac{8x - 9}{5};$

6) $x^2 - 2x + \frac{6}{x + 3} = \frac{6}{x + 3} + 15.$

1) Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x - 14 = 0$.
Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-5$, $c=-14$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: $-2; 7$.

2) Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 12 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-12$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Ответ: $-6; 2$.

3) Решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 9 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=-9$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 1 + 72 = 73$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + \sqrt{73}}{4}$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - \sqrt{73}}{4}$.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{73}}{4}$.

4) Решим уравнение $(3x - 2)(x + 4) = -11$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = -11$
$3x^2 + 12x - 2x - 8 = -11$
$3x^2 + 10x - 8 = -11$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 + 10x - 8 + 11 = 0$
$3x^2 + 10x + 3 = 0$
Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $-3; -\frac{1}{3}$.

5) Решим уравнение $\frac{x^2}{3} = \frac{8x - 9}{5}$.
Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):
$5 \cdot x^2 = 3 \cdot (8x - 9)$
$5x^2 = 24x - 27$
Перенесем все члены в левую часть:
$5x^2 - 24x + 27 = 0$
Коэффициенты: $a=5$, $b=-24$, $c=27$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 576 - 540 = 36$.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{24 + 6}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{24 - 6}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}; 3$.

6) Решим уравнение $x^2 - 2x + \frac{6}{x + 3} = \frac{6}{x + 3} + 15$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Так как слагаемое $\frac{6}{x + 3}$ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его сократить:
$x^2 - 2x = 15$
Перенесем 15 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15.
Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -3$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: $5$.