Страница 77 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Даны уравнения:

а) $7x^2 + 4x - x^3 = 0;$

б) $6x^2 + 2x + 1 = 0;$

в) $5x^4 + 3x^2 - 6 = 0.$

Какие из данных уравнений являются квадратными?

1) а, б 2) а, в 3) б 4) а

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а коэффициенты $a, b, c$ — любые действительные числа, причём $a \neq 0$. Определяющим признаком квадратного уравнения является то, что наивысшая степень переменной в нём равна 2.

Проанализируем каждое из данных уравнений:

а) $7x^2 + 4x - x^3 = 0$
В данном уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 3 (в члене $-x^3$). Следовательно, это уравнение является кубическим, а не квадратным.

б) $6x^2 + 2x + 1 = 0$
Это уравнение полностью соответствует стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Коэффициенты: $a=6, b=2, c=1$. Так как $a \neq 0$, это уравнение является квадратным.

в) $5x^4 + 3x^2 - 6 = 0$
В этом уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 4 (в члене $5x^4$). Следовательно, это уравнение является уравнением четвертой степени (биквадратным), а не квадратным.

Таким образом, из предложенных уравнений только уравнение под буквой б) является квадратным. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

2. Укажите неполное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен 3, а свободный член равен -7.

1) $3x^2 - 7x = 0$

2) $3x^2 - 6x - 7 = 0$

3) $3x^2 - 7 = 0$

4) $-7x^2 + 3 = 0$

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ – второй коэффициент (коэффициент при $x$), а $c$ – свободный член.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю.

Согласно условию задачи, мы ищем уравнение, которое удовлетворяет трем критериям:

1. Это неполное квадратное уравнение.
2. Старший коэффициент $a = 3$.
3. Свободный член $c = -7$.

Поскольку свободный член $c = -7$ (не равен нулю), то для того, чтобы уравнение было неполным, второй коэффициент $b$ должен быть равен нулю ($b=0$).

Подставим известные значения коэффициентов ($a=3, b=0, c=-7$) в общую формулу квадратного уравнения:

$3x^2 + 0 \cdot x + (-7) = 0$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$3x^2 - 7 = 0$

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответов:

1) $3x^2 - 7x = 0$

В этом уравнении старший коэффициент $a=3$, но свободный член $c=0$, что не соответствует условию $c=-7$.

2) $3x^2 - 6x - 7 = 0$

В этом уравнении старший коэффициент $a=3$ и свободный член $c=-7$. Однако второй коэффициент $b=-6$ не равен нулю, поэтому это полное квадратное уравнение, а не неполное.

3) $3x^2 - 7 = 0$

В этом уравнении старший коэффициент $a=3$, свободный член $c=-7$, а второй коэффициент $b=0$ (поскольку член с $x$ отсутствует). Это неполное квадратное уравнение, которое полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

4) $-7x^2 + 3 = 0$

В этом уравнении старший коэффициент $a=-7$, а свободный член $c=3$. Это не соответствует заданным условиям.

Следовательно, верный вариант находится под номером 3.

Ответ: 3

3. Решите уравнение:

1) $2x^2 - 18x = 0;$

2) $2x^2 - 18 = 0;$

3) $(2x + 1)(x - 6) = 8 - 11x;$

4) $x^2 - 12|x| = 0.$

1) $2x^2 - 18x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$2x = 0$ или $x - 9 = 0$

Решая каждое уравнение, получаем:

$x_1 = 0$

$x_2 = 9$

Ответ: $0; 9$.

2) $2x^2 - 18 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x^2 = 18$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Ответ: $-3; 3$.

3) $(2x + 1)(x - 6) = 8 - 11x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x \cdot x + 2x \cdot (-6) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-6) = 8 - 11x$

$2x^2 - 12x + x - 6 = 8 - 11x$

$2x^2 - 11x - 6 = 8 - 11x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - 11x - 6 - 8 + 11x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 14 = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

$2x^2 = 14$

$x^2 = 7$

$x = \pm\sqrt{7}$

$x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

4) $x^2 - 12|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$|x|^2 - 12|x| = 0$

Вынесем $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 12) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$|x| = 0$ или $|x| - 12 = 0$

Решим каждое из этих уравнений:

Если $|x| = 0$, то $x_1 = 0$.

Если $|x| - 12 = 0$, то $|x| = 12$, откуда получаем два корня: $x_2 = 12$ и $x_3 = -12$.

Ответ: $-12; 0; 12$.

4. При каком значении $m$ не является квадратным уравнение $(m - 4)x^2 + (m + 4)x + 6 = 0$?

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ являются числовыми коэффициентами, и главный коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

В данном уравнении $(m - 4)x^2 + (m + 4)x + 6 = 0$ коэффициент при $x^2$ равен $(m - 4)$.

Чтобы уравнение перестало быть квадратным, коэффициент при старшей степени ($x^2$) должен быть равен нулю. Составим и решим соответствующее уравнение:

$m - 4 = 0$

$m = 4$

Проверим: если подставить $m = 4$ в исходное уравнение, получим:
$(4 - 4)x^2 + (4 + 4)x + 6 = 0$
$0 \cdot x^2 + 8x + 6 = 0$
$8x + 6 = 0$
Это уравнение является линейным, а не квадратным.

Ответ: 4