Страница 76 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении аргумента значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 25?

1) 25 2) 5 3) 625 4) 100

1.

По условию задачи, нам дана функция $y = \sqrt{x}$. Требуется найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно 25.

Для этого подставим заданное значение $y = 25$ в уравнение функции:

$25 = \sqrt{x}$

Чтобы найти $x$, необходимо возвести в квадрат обе части уравнения. Это операция, обратная извлечению квадратного корня.

$(25)^2 = (\sqrt{x})^2$

Выполним вычисления:

$625 = x$

Следовательно, при значении аргумента $x = 625$, значение функции $y = \sqrt{x}$ будет равно 25. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 3).

Ответ: 625

2. Координата точки D, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{46}$

2) $\sqrt{52}$

3) $\sqrt{61}$

4) $\sqrt{65}$

Из рисунка видно, что точка D расположена на координатной прямой между числами 7 и 8. Следовательно, её координата $x$ удовлетворяет неравенству $7 < x < 8$.

Чтобы сравнить с предложенными вариантами, возведём все части этого неравенства в квадрат. Так как все части положительны, знак неравенства сохранится:

$7^2 < x^2 < 8^2$

$49 < x^2 < 64$

Теперь необходимо проверить, какое из подкоренных выражений в предложенных вариантах находится в интервале от 49 до 64.

Проанализируем каждый из вариантов:

1) $\sqrt{46}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{46})^2 = 46$. Число 46 не попадает в интервал $(49; 64)$, так как $46 < 49$. Значит, этот вариант не подходит.

2) $\sqrt{52}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{52})^2 = 52$. Число 52 попадает в интервал $(49; 64)$. Значит, этот вариант является возможным ответом.

3) $\sqrt{61}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{61})^2 = 61$. Число 61 также попадает в интервал $(49; 64)$. Этот вариант также возможен.

4) $\sqrt{65}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{65})^2 = 65$. Число 65 не попадает в интервал $(49; 64)$, так как $65 > 64$. Значит, этот вариант не подходит.

Мы получили два возможных варианта: $\sqrt{52}$ и $\sqrt{61}$. Чтобы выбрать верный, обратим внимание на точное положение точки D на отрезке [7, 8]. Точка D расположена заметно ближе к 7, чем к 8. Это означает, что её координата меньше середины отрезка, то есть меньше, чем 7,5.

Проверим, какое из двух оставшихся чисел меньше 7,5. Для этого сравним их квадраты с квадратом числа 7,5:

$7.5^2 = 56.25$

Поскольку координата точки D меньше 7,5, то её квадрат должен быть меньше 56,25.

Сравним квадраты наших чисел с 56,25:

• Для $\sqrt{52}$: квадрат равен 52. $52 < 56.25$, что соответствует условию $x < 7.5$.
• Для $\sqrt{61}$: квадрат равен 61. $61 > 56.25$, что означает, что $\sqrt{61} > 7.5$ и точка должна была бы располагаться ближе к 8.

Таким образом, единственным числом, удовлетворяющим всем условиям, является $\sqrt{52}$.

Ответ: 2) $\sqrt{52}$

3. Сравните:

1) $12$ и $\sqrt{150}$;

2) $7\sqrt{5}$ и $6\sqrt{6}$;

3) $5\sqrt{0,02}$ и $2\sqrt{0,125}$.

1) 12 и √150;
Чтобы сравнить два положительных числа, можно сравнить их квадраты. Если $a > 0$ и $b > 0$, то из $a^2 > b^2$ следует, что $a > b$.
Возведем в квадрат число 12:
$12^2 = 144$
Возведем в квадрат число $\sqrt{150}$:
$(\sqrt{150})^2 = 150$
Теперь сравним полученные квадраты:
$144 < 150$
Так как квадрат первого числа меньше квадрата второго, то и первое число меньше второго.
Ответ: $12 < \sqrt{150}$.

2) 7√5 и 6√6;
Воспользуемся тем же методом и возведем оба выражения в квадрат.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(7\sqrt{5})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 49 \cdot 5 = 245$
Возведем в квадрат второе выражение:
$(6\sqrt{6})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 36 \cdot 6 = 216$
Сравним результаты:
$245 > 216$
Поскольку квадрат первого выражения больше квадрата второго, то и первое выражение больше второго.
Ответ: $7\sqrt{5} > 6\sqrt{6}$.

3) 5√0,02 и 2√0,125.
Снова возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(5\sqrt{0,02})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{0,02})^2 = 25 \cdot 0,02 = 0,5$
Возведем в квадрат второе выражение:
$(2\sqrt{0,125})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{0,125})^2 = 4 \cdot 0,125 = 0,5$
Сравним полученные значения:
$0,5 = 0,5$
Так как квадраты выражений равны, то и сами выражения равны.
Ответ: $5\sqrt{0,02} = 2\sqrt{0,125}$.

4. При каких значениях $x$ выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \le 16;$

2) $10 < \sqrt{x} \le 11?$

1) Чтобы решить неравенство $\sqrt{x} \le 16$, нужно найти все значения $x$, при которых оно выполняется.
Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Это область допустимых значений (ОДЗ).
Во-вторых, поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 16) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{x})^2 \le 16^2$
$x \le 256$
Теперь необходимо учесть оба условия: $x \ge 0$ и $x \le 256$. Объединив их, получаем итоговое решение: $0 \le x \le 256$.
Ответ: $x \in [0; 256]$.

2) Рассмотрим двойное неравенство $10 < \sqrt{x} \le 11$.
Все три части этого неравенства ($10$, $\sqrt{x}$ и $11$) являются положительными. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, не меняя знаков неравенства:
$10^2 < (\sqrt{x})^2 \le 11^2$
Выполним вычисления:
$100 < x \le 121$
Это и есть решение неравенства. Условие неотрицательности подкоренного выражения ($x \ge 0$) здесь выполняется автоматически, так как все значения $x$ в найденном интервале больше 100.
Ответ: $x \in (100; 121]$.

5. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4, \\ 10 - 2x, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-заданной функции и нахождение значений параметра, при которых прямая имеет с графиком определенное число общих точек.

1. Построение графика функции $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4 \\ 10 - 2x, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

График состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$. Это часть параболы, ветви которой направлены вправо. Составим таблицу значений для ключевых точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.

Вторая часть – это график функции $y = 10 - 2x$ при $x > 4$. Это луч. Найдем координаты его начальной точки (которая не включается в луч) и еще одной точки для построения.

• Начальная точка: найдем предел функции при $x \to 4^+$. $y = 10 - 2 \cdot 4 = 2$. Таким образом, луч "начинается" в точке $(4, 2)$. Так как в этой же точке заканчивается первая часть графика, функция является непрерывной.
• Возьмем произвольное значение $x > 4$, например $x = 5$. $y = 10 - 2 \cdot 5 = 0$. Луч проходит через точку $(5, 0)$.

Итоговый график функции $f(x)$ представляет собой кривую $y=\sqrt{x}$ от точки $(0,0)$ до точки $(4,2)$, из которой далее исходит луч, проходящий через точку $(5,0)$.

2. Определение значений параметра $a$

Нам нужно найти все значения $a$, при которых прямая $y=a$ имеет с построенным графиком ровно две общие точки. Прямая $y=a$ является горизонтальной линией. Проанализируем количество точек пересечения этой линии с графиком функции $f(x)$ в зависимости от $a$.

Из графика видно, что:

• При $a > 2$ прямая проходит выше наивысшей точки графика $(4, 2)$ и не имеет с ним общих точек (0 пересечений).
• При $a = 2$ прямая касается графика в его единственной точке максимума $(4, 2)$ (1 пересечение).
• При $0 < a < 2$ прямая пересекает как криволинейный участок $y=\sqrt{x}$, так и прямолинейный участок $y=10-2x$. В этом случае будет ровно две общие точки (2 пересечения).
• При $a = 0$ прямая (ось абсцисс) пересекает график в точках $(0, 0)$ и $(5, 0)$ (2 пересечения).
• При $a < 0$ прямая пересекает только луч $y=10-2x$ (1 пересечение).

Таким образом, условие о наличии ровно двух общих точек выполняется при $a=0$ и при $0 < a < 2$. Объединяя эти случаи, получаем искомый диапазон для $a$.

Ответ: $a \in [0, 2)$.

6. Упростите выражение $\sqrt{(3-\sqrt{10})^2} + \sqrt{(\sqrt{10}-4)^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством квадратного корня, которое гласит, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применим это правило к нашему выражению:

$\sqrt{(3-\sqrt{10})^2} + \sqrt{(\sqrt{10}-4)^2} = |3-\sqrt{10}| + |\sqrt{10}-4|$

Далее необходимо раскрыть модули. Для этого нужно определить знак выражений, стоящих под знаком модуля.

1. Оценим знак выражения $3-\sqrt{10}$.
Сравним числа 3 и $\sqrt{10}$. Для этого сравним их квадраты:
$3^2 = 9$
$(\sqrt{10})^2 = 10$
Поскольку $9 < 10$, то $3 < \sqrt{10}$. Следовательно, выражение $3-\sqrt{10}$ отрицательно.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Таким образом:
$|3-\sqrt{10}| = -(3-\sqrt{10}) = \sqrt{10}-3$.

2. Оценим знак выражения $\sqrt{10}-4$.
Сравним числа $\sqrt{10}$ и 4. Сравним их квадраты:
$(\sqrt{10})^2 = 10$
$4^2 = 16$
Поскольку $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$. Следовательно, выражение $\sqrt{10}-4$ отрицательно.
Таким образом:
$|\sqrt{10}-4| = -(\sqrt{10}-4) = 4-\sqrt{10}$.

Теперь подставим полученные результаты в выражение:

$(\sqrt{10}-3) + (4-\sqrt{10})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{10}-3 + 4-\sqrt{10} = (\sqrt{10}-\sqrt{10}) + (4-3) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1