Номер 2, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Координата точки D, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{46}$

2) $\sqrt{52}$

3) $\sqrt{61}$

4) $\sqrt{65}$

Из рисунка видно, что точка D расположена на координатной прямой между числами 7 и 8. Следовательно, её координата $x$ удовлетворяет неравенству $7 < x < 8$.

Чтобы сравнить с предложенными вариантами, возведём все части этого неравенства в квадрат. Так как все части положительны, знак неравенства сохранится:

$7^2 < x^2 < 8^2$

$49 < x^2 < 64$

Теперь необходимо проверить, какое из подкоренных выражений в предложенных вариантах находится в интервале от 49 до 64.

Проанализируем каждый из вариантов:

1) $\sqrt{46}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{46})^2 = 46$. Число 46 не попадает в интервал $(49; 64)$, так как $46 < 49$. Значит, этот вариант не подходит.

2) $\sqrt{52}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{52})^2 = 52$. Число 52 попадает в интервал $(49; 64)$. Значит, этот вариант является возможным ответом.

3) $\sqrt{61}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{61})^2 = 61$. Число 61 также попадает в интервал $(49; 64)$. Этот вариант также возможен.

4) $\sqrt{65}$

Квадрат этого числа равен $(\sqrt{65})^2 = 65$. Число 65 не попадает в интервал $(49; 64)$, так как $65 > 64$. Значит, этот вариант не подходит.

Мы получили два возможных варианта: $\sqrt{52}$ и $\sqrt{61}$. Чтобы выбрать верный, обратим внимание на точное положение точки D на отрезке [7, 8]. Точка D расположена заметно ближе к 7, чем к 8. Это означает, что её координата меньше середины отрезка, то есть меньше, чем 7,5.

Проверим, какое из двух оставшихся чисел меньше 7,5. Для этого сравним их квадраты с квадратом числа 7,5:

$7.5^2 = 56.25$

Поскольку координата точки D меньше 7,5, то её квадрат должен быть меньше 56,25.

Сравним квадраты наших чисел с 56,25:

• Для $\sqrt{52}$: квадрат равен 52. $52 < 56.25$, что соответствует условию $x < 7.5$.
• Для $\sqrt{61}$: квадрат равен 61. $61 > 56.25$, что означает, что $\sqrt{61} > 7.5$ и точка должна была бы располагаться ближе к 8.

Таким образом, единственным числом, удовлетворяющим всем условиям, является $\sqrt{52}$.

Ответ: 2) $\sqrt{52}$