Номер 5, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4, \\ 10 - 2x, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-заданной функции и нахождение значений параметра, при которых прямая имеет с графиком определенное число общих точек.

1. Построение графика функции $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4 \\ 10 - 2x, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

График состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$. Это часть параболы, ветви которой направлены вправо. Составим таблицу значений для ключевых точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.

Вторая часть – это график функции $y = 10 - 2x$ при $x > 4$. Это луч. Найдем координаты его начальной точки (которая не включается в луч) и еще одной точки для построения.

• Начальная точка: найдем предел функции при $x \to 4^+$. $y = 10 - 2 \cdot 4 = 2$. Таким образом, луч "начинается" в точке $(4, 2)$. Так как в этой же точке заканчивается первая часть графика, функция является непрерывной.
• Возьмем произвольное значение $x > 4$, например $x = 5$. $y = 10 - 2 \cdot 5 = 0$. Луч проходит через точку $(5, 0)$.

Итоговый график функции $f(x)$ представляет собой кривую $y=\sqrt{x}$ от точки $(0,0)$ до точки $(4,2)$, из которой далее исходит луч, проходящий через точку $(5,0)$.

2. Определение значений параметра $a$

Нам нужно найти все значения $a$, при которых прямая $y=a$ имеет с построенным графиком ровно две общие точки. Прямая $y=a$ является горизонтальной линией. Проанализируем количество точек пересечения этой линии с графиком функции $f(x)$ в зависимости от $a$.

Из графика видно, что:

• При $a > 2$ прямая проходит выше наивысшей точки графика $(4, 2)$ и не имеет с ним общих точек (0 пересечений).
• При $a = 2$ прямая касается графика в его единственной точке максимума $(4, 2)$ (1 пересечение).
• При $0 < a < 2$ прямая пересекает как криволинейный участок $y=\sqrt{x}$, так и прямолинейный участок $y=10-2x$. В этом случае будет ровно две общие точки (2 пересечения).
• При $a = 0$ прямая (ось абсцисс) пересекает график в точках $(0, 0)$ и $(5, 0)$ (2 пересечения).
• При $a < 0$ прямая пересекает только луч $y=10-2x$ (1 пересечение).

Таким образом, условие о наличии ровно двух общих точек выполняется при $a=0$ и при $0 < a < 2$. Объединяя эти случаи, получаем искомый диапазон для $a$.

Ответ: $a \in [0, 2)$.