Номер 6, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Упростите выражение $\sqrt{(8-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:

$\sqrt{(8-\sqrt{7})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = |8-\sqrt{7}| + |2-\sqrt{7}|$

Теперь нам нужно раскрыть модули. Для этого определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

1. Оценим знак выражения $8-\sqrt{7}$.
Сравним числа $8$ и $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$.
Поскольку $8 > 3$, то $8 > \sqrt{7}$, а значит, разность $8-\sqrt{7}$ является положительным числом ($8-\sqrt{7} > 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем положительное, то модуль равен самому выражению: $|8-\sqrt{7}| = 8-\sqrt{7}$.

2. Оценим знак выражения $2-\sqrt{7}$.
Как мы уже установили, $2 < \sqrt{7}$ (поскольку $2^2=4$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $4 < 7$).
Следовательно, разность $2-\sqrt{7}$ является отрицательным числом ($2-\sqrt{7} < 0$).
По определению модуля, если выражение под модулем отрицательное, то модуль равен противоположному выражению: $|2-\sqrt{7}| = -(2-\sqrt{7}) = -2+\sqrt{7} = \sqrt{7}-2$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$|8-\sqrt{7}| + |2-\sqrt{7}| = (8-\sqrt{7}) + (\sqrt{7}-2)$

Теперь выполним сложение и приведем подобные слагаемые:

$8 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = (8 - 2) + (-\sqrt{7} + \sqrt{7}) = 6 + 0 = 6$

Ответ: 6