Номер 5, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 1, \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

и определите, при каких значениях а прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика рассмотрим каждый участок по отдельности.

1. На промежутке $0 \le x \le 1$ функция задана как $f(x) = \sqrt{x}$. Это часть стандартного графика функции квадратного корня. Определим координаты крайних точек этого участка:

• При $x=0$, $f(0) = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $f(1) = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.

На этом отрезке график представляет собой кривую, соединяющую точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $x > 1$ функция задана как $f(x) = 2 - x$. Это линейная функция, её график — часть прямой (луч). Найдём начальную точку луча. Так как неравенство $x > 1$ строгое, сама точка $x=1$ не входит в этот промежуток, но мы можем найти предел функции в этой точке, чтобы понять, откуда начинается луч:

• При $x \to 1^+$, $f(x) \to 2 - 1 = 1$. Начальная точка луча — $(1, 1)$ (выколотая для этого куска).

Поскольку на первом участке в точке $x=1$ функция принимает значение $f(1)=1$, график функции является непрерывным в точке $x=1$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью абсцисс ($f(x)=0$):

• $2 - x = 0 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Таким образом, для $x > 1$ график — это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, 0)$.

Итоговый график функции $f(x)$ состоит из участка кривой $y=\sqrt{x}$ от точки $(0,0)$ до $(1,1)$ и луча $y=2-x$, начинающегося в точке $(1,1)$ и уходящего вправо и вниз.

Определите, при каких значениях а прямая y = a будет иметь с графиком функции f единственную общую точку

Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в одной точке. Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $a$, двигая прямую $y=a$ снизу вверх.

1. Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ox. Она не пересекает график $y=\sqrt{x}$ (поскольку $\sqrt{x} \ge 0$), но пересекает луч $y=2-x$ в одной точке (так как этот луч уходит в $-\infty$). Следовательно, при $a < 0$ имеется одна общая точка.

2. Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox. Она пересекает график в двух точках: $(0, 0)$ (из первой части функции) и $(2, 0)$ (из второй части функции). Следовательно, при $a=0$ имеются две общие точки.

3. Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает и криволинейный участок $y=\sqrt{x}$ (в точке с абсциссой $x=a^2$), и прямолинейный участок $y=2-x$ (в точке с абсциссой $x=2-a$). Следовательно, при $0 < a < 1$ имеются две общие точки.

4. Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через "стык" двух участков графика — точку $(1, 1)$. Это единственная точка пересечения. Следовательно, при $a=1$ имеется одна общая точка.

5. Если $a > 1$, прямая $y=a$ проходит выше самой высокой точки графика $(1, 1)$ и, следовательно, не имеет с ним общих точек.

Объединяя результаты анализа, получаем, что график функции имеет единственную общую точку с прямой $y=a$ при $a < 0$ и при $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$.