Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении аргумента значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 4?

1) 2

2) 16

3) -2

4) -16

По условию задачи, нам нужно найти значение аргумента $x$ для функции $y = \sqrt{x}$, при котором значение функции $y$ равно 4.

Для этого подставим значение $y=4$ в уравнение функции и решим его относительно $x$:
$4 = \sqrt{x}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат. Это является равносильным преобразованием, так как обе части уравнения неотрицательны.
$4^2 = (\sqrt{x})^2$

Выполняем вычисление:
$16 = x$

Следовательно, при значении аргумента $x=16$ значение функции равно 4.

Проверка: если $x=16$, то $y = \sqrt{16} = 4$, что соответствует условию.

Ответ: 16

2. Координата точки A, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{23}$

2) $\sqrt{27}$

3) $\sqrt{33}$

4) $\sqrt{38}$

Согласно рисунку, точка A расположена на числовой оси между числами 5 и 6. Это означает, что её координата $x_A$ удовлетворяет двойному неравенству: $5 < x_A < 6$.

Чтобы определить, какой из вариантов ответа подходит, удобно сравнить не сами иррациональные числа, а их квадраты. Возведём в квадрат левую и правую части неравенства:

$5^2 < x_A^2 < 6^2$

$25 < x_A^2 < 36$

Таким образом, квадрат искомого числа должен находиться в интервале от 25 до 36.

Теперь проверим, квадрат какого из предложенных чисел попадает в этот интервал:

• 1) $\sqrt{23}$: $(\sqrt{23})^2 = 23$. Число 23 не входит в интервал $(25, 36)$, так как $23 < 25$. Следовательно, $\sqrt{23} < 5$. Этот вариант не подходит.
• 2) $\sqrt{27}$: $(\sqrt{27})^2 = 27$. Число 27 входит в интервал $(25, 36)$. Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$. Этот вариант может быть верным.
• 3) $\sqrt{33}$: $(\sqrt{33})^2 = 33$. Число 33 входит в интервал $(25, 36)$. Следовательно, $5 < \sqrt{33} < 6$. Этот вариант также может быть верным.
• 4) $\sqrt{38}$: $(\sqrt{38})^2 = 38$. Число 38 не входит в интервал $(25, 36)$, так как $38 > 36$. Следовательно, $\sqrt{38} > 6$. Этот вариант не подходит.

Итак, нам нужно выбрать между $\sqrt{27}$ и $\sqrt{33}$. Из рисунка видно, что точка A расположена правее середины отрезка $[5, 6]$. Серединой этого отрезка является точка с координатой 5,5.

Сравним оставшиеся варианты с числом 5,5. Для этого возведём 5,5 в квадрат:

$5.5^2 = 30.25$

Теперь сравним квадраты наших чисел с $30.25$:

• $(\sqrt{27})^2 = 27$. Так как $27 < 30.25$, то $\sqrt{27} < 5.5$. Это число находится в первой половине отрезка $[5, 6]$.
• $(\sqrt{33})^2 = 33$. Так как $33 > 30.25$, то $\sqrt{33} > 5.5$. Это число находится во второй половине отрезка $[5, 6]$.

Поскольку точка A находится ближе к 6 (то есть правее 5,5), ее координата равна $\sqrt{33}$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

3. Сравните:

1) $\sqrt{2,6}$ и $\sqrt{2,7}$;

2) $9$ и $\sqrt{78}$;

3) $3\sqrt{11}$ и $4\sqrt{6}$.

1) $\sqrt{2,6}$ и $\sqrt{2,7}$

Для сравнения двух квадратных корней из положительных чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей при $x \ge 0$, это означает, что большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня.

Сравним числа под знаком корня: $2,6$ и $2,7$.

Так как $2,6 < 2,7$, то и $\sqrt{2,6} < \sqrt{2,7}$.

Ответ: $\sqrt{2,6} < \sqrt{2,7}$.

2) 9 и $\sqrt{78}$

Чтобы сравнить целое число и квадратный корень, представим целое число в виде квадратного корня. Для этого возведем число 9 в квадрат и поместим результат под знак корня.

$9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{81}$ и $\sqrt{78}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $81$ и $78$.

Так как $81 > 78$, то $\sqrt{81} > \sqrt{78}$.

Следовательно, $9 > \sqrt{78}$.

Ответ: $9 > \sqrt{78}$.

3) $3\sqrt{11}$ и $4\sqrt{6}$

Для сравнения данных выражений внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение.

Для первого числа: $3\sqrt{11} = \sqrt{3^2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}$.

Для второго числа: $4\sqrt{6} = \sqrt{4^2 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{96}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt{99}$ и $\sqrt{96}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $99$ и $96$.

Так как $99 > 96$, то $\sqrt{99} > \sqrt{96}$.

Следовательно, $3\sqrt{11} > 4\sqrt{6}$.

Ответ: $3\sqrt{11} > 4\sqrt{6}$.

4. При каких значениях $x$ выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \ge 12;$

2) $\sqrt{x} < 15?$

1) Для решения неравенства $\sqrt{x} \ge 12$, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.
Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 12) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:
$(\sqrt{x})^2 \ge 12^2$
$x \ge 144$
Теперь нужно найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Так как любое число, большее или равное 144, также больше или равно 0, то условие $x \ge 0$ выполняется автоматически. Таким образом, решением является $x \ge 144$.
Ответ: $x \in [144; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $\sqrt{x} < 15$, также начнем с области допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 < 15^2$
$x < 225$
Теперь необходимо объединить это решение с ОДЗ. Мы получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x < 225 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал, в котором $x$ одновременно больше или равен 0 и меньше 225. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le x < 225$.
Ответ: $x \in [0; 225)$.

5. Решите графически уравнение $\sqrt{x} = 3x - 2$.

Для графического решения уравнения $\sqrt{x} = 3x - 2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 3x - 2$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков будет являться решением исходного уравнения.

Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

График этой функции — это ветвь параболы. Область определения функции: $x \ge 0$. Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка (1; 1).
• При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка (4; 2).

Построение графика функции $y = 3x - 2$

График этой функции — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек:

• При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Точка (1; 1).

Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Из построения видно, что графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — (1; 1), что также очевидно из найденных нами точек для построения.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения, то есть $x = 1$.

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{1} = 3 \cdot 1 - 2$

$1 = 3 - 2$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $1$

6. Упростите выражение $\sqrt{(3\sqrt{6}-8)^2}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).

Применив это свойство к заданному выражению, получаем:

$\sqrt{(3\sqrt{6}-8)^2} = |3\sqrt{6}-8|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения, стоящего под знаком модуля, то есть $3\sqrt{6}-8$. Для этого сравним числа $3\sqrt{6}$ и $8$.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

$8^2 = 64$

Поскольку $54 < 64$, можно сделать вывод, что $(3\sqrt{6})^2 < 8^2$, и, следовательно, $3\sqrt{6} < 8$.

Это означает, что разность $3\sqrt{6}-8$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Применим это правило:

$|3\sqrt{6}-8| = -(3\sqrt{6}-8) = -3\sqrt{6} + 8 = 8 - 3\sqrt{6}$

Ответ: $8 - 3\sqrt{6}$