Страница 69 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите выражение, тождественно равное выражению $\sqrt{9y} + \sqrt{16y} - \sqrt{36y}$.

1) $13y$

2) $y$

3) $13\sqrt{y}$

4) $\sqrt{y}$

Для того чтобы найти выражение, тождественно равное $\sqrt{9y} + \sqrt{16y} - \sqrt{36y}$, необходимо упростить его. Отметим, что выражение имеет смысл только при $y \ge 0$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$), чтобы вынести числовые множители из-под знака корня в каждом слагаемом:
$\sqrt{9y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y} = 3\sqrt{y}$
$\sqrt{16y} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y} = 4\sqrt{y}$
$\sqrt{36y} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{y} = 6\sqrt{y}$
Теперь подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые. Общим множителем является $\sqrt{y}$, поэтому мы можем сложить и вычесть коэффициенты перед ним:
$3\sqrt{y} + 4\sqrt{y} - 6\sqrt{y} = (3 + 4 - 6)\sqrt{y}$
Выполним вычисления в скобках:
$(7 - 6)\sqrt{y} = 1 \cdot \sqrt{y} = \sqrt{y}$
Таким образом, исходное выражение тождественно равно $\sqrt{y}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: 4) $\sqrt{y}$

2. Чему равно значение выражения $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{60}$?

1) $34$

2) $8$

3) $8 - \sqrt{15}$

4) $8 + \sqrt{15}$

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{60}$, необходимо выполнить несколько шагов по его упрощению.

1. Сначала раскроем квадрат суммы $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{3}$.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Вычислим каждое слагаемое:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{5 \cdot 3} = 2\sqrt{15}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Сложим полученные значения:

$5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

2. Теперь упростим второй член выражения, $\sqrt{60}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, представив подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$60 = 4 \cdot 15$

Следовательно:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и найдем окончательный результат.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{60} = (8 + 2\sqrt{15}) - 2\sqrt{15}$

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$8 + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} = 8$

Значение выражения равно 8, что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 8

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{m^{17}}$;

2) $\sqrt{-p^9}$;

3) $\sqrt{a^6 c^5}$, если $a < 0$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня в выражении $\sqrt{m^{17}}$, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей имеет максимально возможную четную степень.
Представим степень $m^{17}$ как $m^{16} \cdot m^1$. Выражение $\sqrt{m^{17}}$ имеет смысл при $m^{17} \ge 0$, то есть при $m \ge 0$.
$\sqrt{m^{17}} = \sqrt{m^{16} \cdot m}$
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$), получаем:
$\sqrt{m^{16}} \cdot \sqrt{m}$
Так как $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, то $\sqrt{m^{16}} = \sqrt{(m^8)^2} = |m^8|$. Поскольку $m^8$ всегда неотрицательно, $|m^8| = m^8$.
В итоге получаем:
$m^8\sqrt{m}$
Ответ: $m^8\sqrt{m}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{-p^9}$.
Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-p^9 \ge 0$. Умножив обе части неравенства на -1, получаем $p^9 \le 0$, что возможно только при $p \le 0$.
Представим подкоренное выражение $-p^9$ в виде произведения, выделив множитель с четной степенью:
$-p^9 = p^8 \cdot (-p)$
Тогда $\sqrt{-p^9} = \sqrt{p^8 \cdot (-p)}$.
Поскольку $p^8 \ge 0$ и (согласно условию $p \le 0$) $-p \ge 0$, мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{p^8} \cdot \sqrt{-p}$
Вычисляем $\sqrt{p^8} = \sqrt{(p^4)^2} = |p^4|$. Так как $p^4$ всегда неотрицательно, $|p^4| = p^4$.
В результате получаем:
$p^4\sqrt{-p}$
Ответ: $p^4\sqrt{-p}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{a^6 c^5}$ при условии $a < 0$.
Подкоренное выражение $a^6 c^5$ должно быть неотрицательным. Поскольку $a$ возводится в четную степень 6, $a^6$ всегда будет неотрицательным ($a^6 \ge 0$). Так как по условию $a < 0$, то $a^6 > 0$. Для того чтобы произведение $a^6 c^5$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $c^5 \ge 0$, что означает $c \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей с четными степенями:
$\sqrt{a^6 c^5} = \sqrt{a^6 \cdot c^4 \cdot c}$
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{a^6} \cdot \sqrt{c^4} \cdot \sqrt{c}$
Вынесем множители из-под знака корня по отдельности:
$\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$. По условию $a < 0$, следовательно $a^3$ также будет отрицательным ($a^3 < 0$). Поэтому, по определению модуля, $|a^3| = -a^3$.
$\sqrt{c^4} = \sqrt{(c^2)^2} = |c^2|$. Поскольку $c^2$ всегда неотрицательно, $|c^2| = c^2$.
Объединяем полученные результаты:
$(-a^3) \cdot c^2 \cdot \sqrt{c} = -a^3 c^2 \sqrt{c}$
Ответ: $-a^3 c^2 \sqrt{c}$

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $\frac{3}{7}\sqrt{35}$;

2) $2a\sqrt{\frac{a}{2}}$.

1) Чтобы внести множитель $\frac{3}{7}$ под знак квадратного корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Так как множитель $\frac{3}{7}$ является положительным числом, мы можем это сделать без изменения знака.

$\frac{3}{7}\sqrt{35} = \sqrt{(\frac{3}{7})^2 \cdot 35}$

Возведем дробь $\frac{3}{7}$ в квадрат:

$(\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение и умножим на подкоренное число:

$\sqrt{\frac{9}{49} \cdot 35} = \sqrt{\frac{9 \cdot 35}{49}}$

Сократим дробь под корнем. Числа 35 и 49 имеют общий делитель 7:

$\sqrt{\frac{9 \cdot (5 \cdot 7)}{7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{7}} = \sqrt{\frac{45}{7}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{45}{7}}$

2) Чтобы внести множитель $2a$ под знак квадратного корня, сначала определим область допустимых значений переменной $a$. Выражение под корнем $\frac{a}{2}$ должно быть неотрицательным:

$\frac{a}{2} \ge 0$, что означает $a \ge 0$.

Поскольку $a \ge 0$, множитель $2a$ также является неотрицательным ($2a \ge 0$). Следовательно, мы можем внести его под знак корня, предварительно возведя в квадрат.

$2a\sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{(2a)^2 \cdot \frac{a}{2}}$

Возведем множитель $2a$ в квадрат:

$(2a)^2 = 4a^2$

Теперь умножим результат на подкоренное выражение:

$\sqrt{4a^2 \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2 \cdot a}{2}} = \sqrt{\frac{4a^3}{2}}$

Сократим выражение под корнем, разделив 4 на 2:

$\sqrt{2a^3}$

Ответ: $\sqrt{2a^3}$

5. Найдите значение выражения

$(7\sqrt{20} - 2\sqrt{80} - \sqrt{45}) \cdot 2\sqrt{5}.$

Для того чтобы найти значение выражения $(7\sqrt{20} - 2\sqrt{80} - \sqrt{45}) \cdot 2\sqrt{5}$, сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня.

1. Упростим каждый член в скобках:

• Первый член: $7\sqrt{20}$. Разложим 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
  $7\sqrt{20} = 7\sqrt{4 \cdot 5} = 7 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 7 \cdot 2\sqrt{5} = 14\sqrt{5}$.

• Второй член: $2\sqrt{80}$. Разложим 80 на множители: $80 = 16 \cdot 5$.
  $2\sqrt{80} = 2\sqrt{16 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

• Третий член: $\sqrt{45}$. Разложим 45 на множители: $45 = 9 \cdot 5$.
  $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

2. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в скобки:

$(14\sqrt{5} - 8\sqrt{5} - 3\sqrt{5})$

3. Так как все слагаемые содержат одинаковый множитель $\sqrt{5}$, мы можем выполнить действия с коэффициентами:

$(14 - 8 - 3)\sqrt{5} = (6 - 3)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

4. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на $2\sqrt{5}$:

$3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}$

Умножим коэффициенты и корни отдельно:

$(3 \cdot 2) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

6. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;

2) $\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$, преобразуем числитель.
Представим $\sqrt{15}$ в виде произведения корней: $\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки в числителе:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{5}}$
Сократим дробь на $\sqrt{5}$:
$\sqrt{3} - 1$
Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим числитель $x-9$ в виде разности квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $9 = 3^2$.
$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$
Теперь подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь:
$\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}-3}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}-3)$. Область допустимых значений выражения: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 9$.
$\sqrt{x}+3$
Ответ: $\sqrt{x}+3$.

7. Найдите значение выражения $\frac{1}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{1}{4 + 3\sqrt{2}}$

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей исходных дробей: $(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 4$ и $b = 3\sqrt{2}$.

Вычислим значение общего знаменателя:

$(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2}) = 4^2 - (3\sqrt{2})^2 = 16 - (9 \cdot 2) = 16 - 18 = -2$.

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{1}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{1}{4 + 3\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (4 + 3\sqrt{2})}{(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})} - \frac{1 \cdot (4 - 3\sqrt{2})}{(4 + 3\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})}$

Запишем выражение с общим знаменателем и вычтем числители:

$\frac{(4 + 3\sqrt{2}) - (4 - 3\sqrt{2})}{-2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4 + 3\sqrt{2} - 4 + 3\sqrt{2}}{-2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6\sqrt{2}}{-2}$

Разделим числитель на знаменатель:

$-3\sqrt{2}$

Ответ: $-3\sqrt{2}$