Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Даны уравнения:

а) $x^2 + 6x - 5 = 0;$

б) $3x^2 = 0;$

в) $1 - x - 0,6x^2 = 0.$

Какие из данных уравнений являются квадратными?

1) a

2) a, в

3) в

4) a, б, в

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём главный коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этому определению.

а) $x^2 + 6x - 5 = 0$

Данное уравнение представлено в стандартном виде. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a \neq 0$, это уравнение является полным квадратным уравнением.

б) $3x^2 = 0$

Это уравнение можно записать в виде $3x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a \neq 0$, это уравнение является неполным квадратным уравнением.

в) $1 - x - 0,6x^2 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду, расположив слагаемые по убыванию степеней переменной $x$: $-0,6x^2 - x + 1 = 0$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,6$. Так как $a \neq 0$, это уравнение также является квадратным.

Таким образом, все три уравнения (а, б, в) удовлетворяют определению квадратного уравнения. Следовательно, правильный вариант ответа под номером 4.

Ответ: 4) а, б, в

2. Укажите неполное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен $ \frac{1}{3} $, а свободный член равен $ -0,6 $.

1) $ \frac{1}{3}x^2 - 0,6x = 0 $

2) $ -0,6x^2 + \frac{1}{3}x = 0 $

3) $ \frac{1}{3}x^2 + x - 0,6 = 0 $

4) $ \frac{1}{3}x^2 - 0,6 = 0 $

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ – второй коэффициент (коэффициент при $x$), $c$ – свободный член (константа).

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю.

Согласно условию задачи, нам нужно найти неполное квадратное уравнение со следующими параметрами:

• старший коэффициент $a = \frac{1}{3}$;
• свободный член $c = -0,6$.

Поскольку свободный член $c = -0,6$, что не равно нулю, для того чтобы уравнение было неполным, необходимо, чтобы второй коэффициент $b$ был равен нулю ($b=0$).

Подставим значения коэффициентов $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$ и $c = -0,6$ в общую формулу квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{1}{3}x^2 + 0 \cdot x + (-0,6) = 0$

Упростив, получаем искомое уравнение:

$\frac{1}{3}x^2 - 0,6 = 0$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

1) $\frac{1}{3}x^2 - 0,6x = 0$
В этом уравнении старший коэффициент $a = \frac{1}{3}$, но свободный член $c = 0$. Это не соответствует условию, где свободный член равен $-0,6$.

2) $-0,6x^2 + \frac{1}{3}x = 0$
В этом уравнении старший коэффициент $a = -0,6$. Это не соответствует условию, где старший коэффициент равен $\frac{1}{3}$.

3) $\frac{1}{3}x^2 + x - 0,6 = 0$
В этом уравнении старший коэффициент $a = \frac{1}{3}$ и свободный член $c = -0,6$. Оба условия выполнены. Однако второй коэффициент $b = 1$, то есть не равен нулю. Следовательно, это полное квадратное уравнение, а по условию требуется неполное.

4) $\frac{1}{3}x^2 - 0,6 = 0$
В этом уравнении старший коэффициент $a = \frac{1}{3}$, свободный член $c = -0,6$ и второй коэффициент $b = 0$. Уравнение является неполным и полностью соответствует всем условиям задачи.

Ответ: 4

3. Решите уравнение:

1) $5x^2 - 80x = 0;$

2) $5x^2 - 80 = 0;$

3) $(4x + 1)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) = 8 - 7x;$

4) $x^2 - \frac{8x^2}{|x|} = 0.$

1) $5x^2 - 80x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(x - 16) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$5x = 0$ или $x - 16 = 0$

Из первого уравнения находим корень: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим корень: $x_2 = 16$.

Ответ: $0; 16$.

2) $5x^2 - 80 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$5x^2 = 80$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 = \frac{80}{5}$

$x^2 = 16$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{16}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $-4; 4$.

3) $(4x + 1)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) = 8 - 7x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Произведение $(4x + 1)(x - 2)$ равно:

$4x \cdot x + 4x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = 4x^2 - 8x + x - 2 = 4x^2 - 7x - 2$

Произведение $(x + 1)(x - 1)$ является формулой разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(4x^2 - 7x - 2) - (x^2 - 1) = 8 - 7x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные, так как перед ними стоит минус:

$4x^2 - 7x - 2 - x^2 + 1 = 8 - 7x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x^2 - x^2) + (-7x) + (-2 + 1) = 3x^2 - 7x - 1$

Уравнение принимает вид:

$3x^2 - 7x - 1 = 8 - 7x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 7x - 1 - 8 + 7x = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 9 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$3x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{3}$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

4) $x^2 - \frac{8x^2}{|x|} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2 \left(1 - \frac{8}{|x|}\right) = 0$

Поскольку $x \neq 0$, то и $x^2 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$, либо приравнять к нулю выражение в скобках:

$1 - \frac{8}{|x|} = 0$

Решим это уравнение относительно $|x|$:

$1 = \frac{8}{|x|}$

Умножив обе части на $|x|$ (что допустимо, так как $|x| \neq 0$), получим:

$|x| = 8$

Уравнение с модулем $|x| = a$ (где $a > 0$) имеет два решения: $x = a$ и $x = -a$. В нашем случае:

$x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-8; 8$.

4. При каких значениях $m$ не является квадратным уравнение $(m^2 - 7)x^2 + (m - 7)x - 1 = 0$?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициент $a$ при старшем члене ($x^2$) не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если коэффициент $a$ равен нулю, уравнение перестает быть квадратным.

В данном уравнении $(m^2 - 7)x^2 + (m - 7)x - 1 = 0$ роль коэффициента $a$ выполняет выражение $m^2 - 7$.

Чтобы уравнение не было квадратным, необходимо приравнять этот коэффициент к нулю и найти соответствующие значения $m$:

$m^2 - 7 = 0$

Перенесем 7 в правую часть уравнения:

$m^2 = 7$

Отсюда находим два значения $m$, извлекая квадратный корень:

$m_1 = \sqrt{7}$

$m_2 = -\sqrt{7}$

При этих значениях $m$ коэффициент при $x^2$ становится равным нулю, и уравнение превращается в линейное, то есть перестает быть квадратным.

Ответ: $m = \sqrt{7}$; $m = -\sqrt{7}$.