Номер 3, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $5x^2 - 80x = 0;$

2) $5x^2 - 80 = 0;$

3) $(4x + 1)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) = 8 - 7x;$

4) $x^2 - \frac{8x^2}{|x|} = 0.$

1) $5x^2 - 80x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(x - 16) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$5x = 0$ или $x - 16 = 0$

Из первого уравнения находим корень: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим корень: $x_2 = 16$.

Ответ: $0; 16$.

2) $5x^2 - 80 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$5x^2 = 80$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 = \frac{80}{5}$

$x^2 = 16$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{16}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $-4; 4$.

3) $(4x + 1)(x - 2) - (x + 1)(x - 1) = 8 - 7x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Произведение $(4x + 1)(x - 2)$ равно:

$4x \cdot x + 4x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = 4x^2 - 8x + x - 2 = 4x^2 - 7x - 2$

Произведение $(x + 1)(x - 1)$ является формулой разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(4x^2 - 7x - 2) - (x^2 - 1) = 8 - 7x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные, так как перед ними стоит минус:

$4x^2 - 7x - 2 - x^2 + 1 = 8 - 7x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x^2 - x^2) + (-7x) + (-2 + 1) = 3x^2 - 7x - 1$

Уравнение принимает вид:

$3x^2 - 7x - 1 = 8 - 7x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 7x - 1 - 8 + 7x = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 9 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$3x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{3}$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

4) $x^2 - \frac{8x^2}{|x|} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2 \left(1 - \frac{8}{|x|}\right) = 0$

Поскольку $x \neq 0$, то и $x^2 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$, либо приравнять к нулю выражение в скобках:

$1 - \frac{8}{|x|} = 0$

Решим это уравнение относительно $|x|$:

$1 = \frac{8}{|x|}$

Умножив обе части на $|x|$ (что допустимо, так как $|x| \neq 0$), получим:

$|x| = 8$

Уравнение с модулем $|x| = a$ (где $a > 0$) имеет два решения: $x = a$ и $x = -a$. В нашем случае:

$x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-8; 8$.