Номер 3, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $7x^2 - 28 = 0$;

2) $7x^2 - 28x = 0$;

3) $(5x - 2)(x + 3) - (x - 2)(x + 2) = 13x + 22$;

4) $x^2 - \frac{12x^2}{|x|} = 0.$

1) $7x^2 - 28 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть уравнения:

$7x^2 = 28$

Разделим обе части уравнения на 7:

$x^2 = \frac{28}{7}$

$x^2 = 4$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: $-2; 2$.

2) $7x^2 - 28x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$7x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$7x = 0$ или $x - 4 = 0$

Решаем каждое уравнение:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

Ответ: $0; 4$.

3) $(5x - 2)(x + 3) - (x - 2)(x + 2) = 13x + 22$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для $(x - 2)(x + 2)$ используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5x \cdot x + 5x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3) - (x^2 - 2^2) = 13x + 22$

$(5x^2 + 15x - 2x - 6) - (x^2 - 4) = 13x + 22$

Приведём подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки:

$5x^2 + 13x - 6 - x^2 + 4 = 13x + 22$

Снова приведём подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 + 13x - 2 = 13x + 22$

Перенесём все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$4x^2 + 13x - 13x - 2 - 22 = 0$

$4x^2 - 24 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$4x^2 = 24$

$x^2 = \frac{24}{4}$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^2 - \frac{12x^2}{|x|} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2 \left(1 - \frac{12}{|x|}\right) = 0$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 0$, то и $x^2 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$1 - \frac{12}{|x|} = 0$

Перенесём дробь в правую часть:

$1 = \frac{12}{|x|}$

Отсюда следует, что:

$|x| = 12$

Уравнение с модулем распадается на два случая:

$x_1 = 12$ или $x_2 = -12$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-12; 12$.