Страница 86 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно произведение корней уравнения

$x^2 + 6x - 22 = 0?$

1) 6 2) -6 3) -22 4) 22

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ можно воспользоваться теоремой Виета.

Согласно теореме Виета, если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то их произведение равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту при $x^2$, то есть $a$. Формула выглядит так: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В заданном уравнении $x^2 + 6x - 22 = 0$ определим коэффициенты:

• $a = 1$
• $b = 6$
• $c = -22$

Перед применением теоремы Виета нужно убедиться, что уравнение имеет действительные корни. для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 36 + 88 = 124$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, теорему Виета применять можно.

Теперь подставим значения коэффициентов $a$ и $c$ в формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-22}{1} = -22$.

Таким образом, произведение корней уравнения равно -22.

Ответ: -22

2. Чему равен коэффициент $b$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа $-11$ и $3$?

1) 8 2) -8 3) -33 4) 33

Для нахождения коэффициента $b$ квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) утверждает, что:

1. Сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.

2. Произведение корней уравнения ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + bx + c = 0$, значит $p = b$ и $q = c$. Корни уравнения даны в условии: $x_1 = -11$ и $x_2 = 3$.

Нас интересует коэффициент $b$. Используем формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -b$

Подставим известные значения корней в это равенство:

$-11 + 3 = -b$

Выполним сложение в левой части уравнения:

$-8 = -b$

Чтобы найти $b$, умножим обе части равенства на -1:

$b = 8$

Проверка

Другой способ найти уравнение, зная его корни $x_1$ и $x_2$, — это использовать формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Подставим наши корни $x_1 = -11$ и $x_2 = 3$:

$(x - (-11))(x - 3) = 0$

$(x + 11)(x - 3) = 0$

Теперь раскроем скобки, умножив многочлены:

$x^2 - 3x + 11x - 33 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 8x - 33 = 0$

Сравнивая полученное уравнение с исходным $x^2 + bx + c = 0$, мы видим, что коэффициент $b$ действительно равен 8.

Ответ: 8

3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $\frac{1}{6}$ и 5.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно ей, уравнение можно записать в виде:$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

В условии даны корни $x_1 = \frac{1}{6}$ и $x_2 = 5$.

Сначала найдем сумму этих корней:$x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + 5 = \frac{1}{6} + \frac{30}{6} = \frac{31}{6}$

Затем найдем произведение этих корней:$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6}$

Теперь подставим вычисленные значения суммы и произведения в формулу:$x^2 - \frac{31}{6}x + \frac{5}{6} = 0$

По условию задачи, коэффициенты уравнения должны быть целыми. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 6:$6 \cdot (x^2 - \frac{31}{6}x + \frac{5}{6}) = 6 \cdot 0$$6x^2 - 6 \cdot \frac{31}{6}x + 6 \cdot \frac{5}{6} = 0$$6x^2 - 31x + 5 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение, все коэффициенты которого (6, -31, 5) являются целыми числами.

Ответ: $6x^2 - 31x + 5 = 0$

4. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 31 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 31 = 0$.

При каком значении b корни уравнения являются противоположными числами?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Если корни являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении $x^2 + bx - 31 = 0$ второй коэффициент равен $b$. Следовательно, сумма корней равна:

$x_1 + x_2 = -b$

Так как мы знаем, что сумма противоположных корней равна 0, мы можем составить уравнение:

$-b = 0$

Отсюда следует, что $b = 0$.

Ответ: $b = 0$.

Найдите эти корни.

Теперь, когда известно значение $b$, подставим его в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 31 = 0$

Уравнение упрощается до вида:

$x^2 - 31 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 31$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим корни:

$x = \pm\sqrt{31}$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{31}$ и $x_2 = -\sqrt{31}$.

Ответ: Корни уравнения: $\sqrt{31}$ и $-\sqrt{31}$.

5. Один из корней уравнения $x^2 - 14x + c = 0$ на 4 меньше другого. Найдите корни уравнения и значение $c$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 14x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию, один из корней на 4 меньше другого. Это можно записать в виде математического соотношения: $x_2 = x_1 + 4$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 14x + c = 0$ коэффициенты равны $p = -14$ и $q = c$.

Применим первую формулу Виета (сумма корней):
$x_1 + x_2 = -(-14) = 14$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
1) $x_1 + x_2 = 14$
2) $x_2 = x_1 + 4$

Подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое:
$x_1 + (x_1 + 4) = 14$
$2x_1 + 4 = 14$
$2x_1 = 14 - 4$
$2x_1 = 10$
$x_1 = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь, зная $x_1$, найдем $x_2$ из второго уравнения системы:
$x_2 = 5 + 4 = 9$.

Таким образом, корни уравнения — это 5 и 9.

Далее, для нахождения значения $c$ применим вторую формулу Виета (произведение корней):
$c = x_1 \cdot x_2$.

Подставим найденные значения корней в эту формулу:
$c = 5 \cdot 9 = 45$.

Ответ: корни уравнения 5 и 9, значение $c = 45$.

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 4 раза меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 52 = 0$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета.

Сначала рассмотрим исходное уравнение: $x^2 + 8x - 52 = 0$.
Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -52$

Теперь найдем корни нового уравнения. Обозначим их как $y_1$ и $y_2$. По условию, они в 4 раза меньше соответствующих корней исходного уравнения.

$y_1 = \frac{x_1}{4}$
$y_2 = \frac{x_2}{4}$

Найдем сумму и произведение новых корней:

• Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = \frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{4} = \frac{x_1 + x_2}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
• Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{4} \cdot \frac{x_2}{4} = \frac{x_1 \cdot x_2}{16} = \frac{-52}{16} = -\frac{13}{4}$

Используя обратную теорему Виета, составим новое квадратное уравнение вида $y^2 + py + q = 0$, где $p = -(y_1 + y_2)$ и $q = y_1 \cdot y_2$.

$p = -(-2) = 2$
$q = -\frac{13}{4}$

Получаем уравнение:
$y^2 + 2y - \frac{13}{4} = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 4:

$4(y^2 + 2y - \frac{13}{4}) = 4 \cdot 0$
$4y^2 + 8y - 13 = 0$

Заменив переменную $y$ на привычную $x$, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $4x^2 + 8x - 13 = 0$