Страница 93 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых уравнений не является биквадратным?

1) $x^4 + 14x^2 - 20 = 0$

2) $x^4 - 32 = 0$

3) $x^4 + 6x^3 - 7 = 0$

4) $x^4 + 12x^2 = 0$

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Ключевой особенностью такого уравнения является то, что оно содержит переменную только в четных степенях ($x^4$ и $x^2$) и не содержит нечетных степеней ($x^3$ и $x$).

Проанализируем каждое из приведённых уравнений:

1) $x^4 + 14x^2 - 20 = 0$

Это уравнение полностью соответствует стандартному виду биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ при $a=1$, $b=14$ и $c=-20$. Оно содержит только четные степени переменной. Следовательно, это биквадратное уравнение.

2) $x^4 - 32 = 0$

Это уравнение является частным случаем биквадратного уравнения. Его можно записать в виде $x^4 + 0 \cdot x^2 - 32 = 0$, что соответствует общему виду при $a=1$, $b=0$ и $c=-32$. Следовательно, это биквадратное уравнение.

3) $x^4 + 6x^3 - 7 = 0$

В этом уравнении присутствует член $6x^3$, который содержит переменную в нечетной степени (3). Это противоречит определению биквадратного уравнения. Из-за наличия этого члена уравнение не может быть сведено к квадратному заменой $y=x^2$. Следовательно, данное уравнение не является биквадратным.

4) $x^4 + 12x^2 = 0$

Это уравнение также является частным случаем биквадратного уравнения. Его можно записать как $x^4 + 12x^2 + 0 = 0$, что соответствует общему виду при $a=1$, $b=12$ и $c=0$. Следовательно, это биквадратное уравнение.

Таким образом, единственное уравнение, которое не является биквадратным, это уравнение под номером 3.

Ответ: 3

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - 16} = 0.$

1) {4, 6}

2) {4}

3) {6}

4) $\emptyset$

Данное уравнение является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 10x + 24 = 0 \\ x^2 - 16 \neq 0 \end{cases}$

Решение уравнения числителя
Сначала решим квадратное уравнение из числителя: $x^2 - 10x + 24 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 10$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 24$.
Подбором находим, что корнями являются числа $4$ и $6$, так как $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$. Таким образом, потенциальные корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

Проверка области допустимых значений (ОДЗ)
Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 16 \neq 0$
$x^2 \neq 16$
Это означает, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Определение множества корней
Сопоставим найденные корни числителя с областью допустимых значений.
Корень $x = 4$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 4$), поэтому он является посторонним и его необходимо исключить.
Корень $x = 6$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $6 \neq 4$ и $6 \neq -4$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=6$.
Множество корней уравнения: $\{6\}$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: {6}

3. Решите уравнение:

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

2) $\frac{2x^2 - 10x + 4}{x - 5} = x;$

3) $\frac{x}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 6} = \frac{48 - 4x}{x^2 - 36};$

4) $\frac{1}{(x + 2)^2} + \frac{4}{x + 2} - 12 = 0.$

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; -2; \sqrt{3}; 2$.

2) $\frac{2x^2 - 10x + 4}{x - 5} = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$.
Умножим обе части уравнения на $(x - 5)$ при условии, что $x \neq 5$:
$2x^2 - 10x + 4 = x(x - 5)$
$2x^2 - 10x + 4 = x^2 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - x^2 - 10x + 5x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).
Ответ: $1; 4$.

3) $\frac{x}{x+6} + \frac{x+6}{x-6} = \frac{48 - 4x}{x^2 - 36}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
$x^2 - 36 = (x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq \pm 6$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-6)(x+6)$:
$\frac{x(x-6)}{(x+6)(x-6)} + \frac{(x+6)(x+6)}{(x-6)(x+6)} = \frac{48 - 4x}{(x-6)(x+6)}$
Умножим обе части на $(x-6)(x+6)$ и отбросим знаменатели:
$x(x-6) + (x+6)^2 = 48 - 4x$
$x^2 - 6x + x^2 + 12x + 36 = 48 - 4x$
$2x^2 + 6x + 36 = 48 - 4x$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 + 6x + 4x + 36 - 48 = 0$
$2x^2 + 10x - 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

4) $\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{4}{x+2} - 12 = 0$

Найдем ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{x+2}$.
Тогда уравнение примет вид:
$t^2 + 4t - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -4$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $\frac{1}{x+2} = t_1 \implies \frac{1}{x+2} = 2$
$1 = 2(x+2)$
$1 = 2x + 4$
$2x = -3 \implies x_1 = -\frac{3}{2} = -1.5$
2. $\frac{1}{x+2} = t_2 \implies \frac{1}{x+2} = -6$
$1 = -6(x+2)$
$1 = -6x - 12$
$6x = -13 \implies x_2 = -\frac{13}{6}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).
Ответ: $-\frac{13}{6}; -\frac{3}{2}$.