Номер 3, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

2) $\frac{2x^2 - 10x + 4}{x - 5} = x;$

3) $\frac{x}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 6} = \frac{48 - 4x}{x^2 - 36};$

4) $\frac{1}{(x + 2)^2} + \frac{4}{x + 2} - 12 = 0.$

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; -2; \sqrt{3}; 2$.

2) $\frac{2x^2 - 10x + 4}{x - 5} = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$.
Умножим обе части уравнения на $(x - 5)$ при условии, что $x \neq 5$:
$2x^2 - 10x + 4 = x(x - 5)$
$2x^2 - 10x + 4 = x^2 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - x^2 - 10x + 5x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).
Ответ: $1; 4$.

3) $\frac{x}{x+6} + \frac{x+6}{x-6} = \frac{48 - 4x}{x^2 - 36}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
$x^2 - 36 = (x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq \pm 6$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-6)(x+6)$:
$\frac{x(x-6)}{(x+6)(x-6)} + \frac{(x+6)(x+6)}{(x-6)(x+6)} = \frac{48 - 4x}{(x-6)(x+6)}$
Умножим обе части на $(x-6)(x+6)$ и отбросим знаменатели:
$x(x-6) + (x+6)^2 = 48 - 4x$
$x^2 - 6x + x^2 + 12x + 36 = 48 - 4x$
$2x^2 + 6x + 36 = 48 - 4x$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 + 6x + 4x + 36 - 48 = 0$
$2x^2 + 10x - 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

4) $\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{4}{x+2} - 12 = 0$

Найдем ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{x+2}$.
Тогда уравнение примет вид:
$t^2 + 4t - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -4$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $\frac{1}{x+2} = t_1 \implies \frac{1}{x+2} = 2$
$1 = 2(x+2)$
$1 = 2x + 4$
$2x = -3 \implies x_1 = -\frac{3}{2} = -1.5$
2. $\frac{1}{x+2} = t_2 \implies \frac{1}{x+2} = -6$
$1 = -6(x+2)$
$1 = -6x - 12$
$6x = -13 \implies x_2 = -\frac{13}{6}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).
Ответ: $-\frac{13}{6}; -\frac{3}{2}$.