Номер 2, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9} = 0.$

1) $\{-4, -3\}$

2) $\{-4\}$

3) $\{-3\}$

4) $\emptyset$

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 7x + 12 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы (числитель):

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $x = -3$ и $x = -4$.

2. Проверим второе условие системы (знаменатель):

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, и исключим их.

$x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

3. Выберем корни, удовлетворяющие ОДЗ:

Мы получили два потенциальных корня из числителя: $-3$ и $-4$.

• Проверяем корень $x = -4$. Он удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \neq 3$ и $-4 \neq -3$. Значит, $x = -4$ является корнем уравнения.
• Проверяем корень $x = -3$. Он не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель при $x = -3$ обращается в ноль. Значит, $x = -3$ не является корнем уравнения (это посторонний корень).

Единственным корнем уравнения является $x = -4$. Множество корней уравнения состоит из одного элемента: $\{-4\}$.

Среди предложенных вариантов ответа это вариант номер 2.

Ответ: $\{-4\}$