Номер 4, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сократите дробь:

1) $\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14}$;

2) $\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $9x^2 - 42x + 49$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 3x$ и $b = 7$, так как $(3x)^2 = 9x^2$, $7^2 = 49$, и удвоенное произведение $2 \cdot 3x \cdot 7 = 42x$.
Таким образом, числитель равен $(3x - 7)^2$.

Знаменатель $3x^2 - x - 14$ является квадратным трехчленом. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$ по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.
Следовательно, разложение знаменателя на множители: $3(x - \frac{7}{3})(x - (-2)) = (3x - 7)(x + 2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(3x - 7)$:
$\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14} = \frac{(3x-7)^2}{(3x-7)(x+2)} = \frac{3x-7}{x+2}$.

Ответ: $\frac{3x-7}{x+2}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2}$ также разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель $4x^2 + 3x - 1$, найдя корни уравнения $4x^2 + 3x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
Разложение числителя: $4(x - \frac{1}{4})(x - (-1)) = (4x - 1)(x + 1)$.

Разложим знаменатель $1 - 5x - 6x^2$. Перепишем его в стандартном виде $-6x^2 - 5x + 1$ и найдем корни уравнения $-6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 1 = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot (-6)} = \frac{12}{-12} = -1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot (-6)} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}$.
Разложение знаменателя: $-6(x - (-1))(x - \frac{1}{6}) = -6(x + 1)(x - \frac{1}{6}) = (x+1) \cdot (-6(x - \frac{1}{6})) = (x+1)(1-6x)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 1)$:
$\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2} = \frac{(4x - 1)(x + 1)}{(1-6x)(x + 1)} = \frac{4x-1}{1-6x}$.

Ответ: $\frac{4x-1}{1-6x}$.