Номер 3, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 8x - 48$;

2) $12x^2 - x - 1$.

1) $x^2 - 8x - 48$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала найдём корни уравнения $x^2 - 8x - 48 = 0$.

Для этого вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$.

Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Подставим найденные корни в формулу разложения. В данном трёхчлене коэффициент $a = 1$.
$x^2 - 8x - 48 = 1 \cdot (x - 12)(x - (-4)) = (x - 12)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 12)(x + 4)$

2) $12x^2 - x - 1$

Действуем аналогично. Найдём корни квадратного уравнения $12x^2 - x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 12$, $b = -1$, $c = -1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 + 7}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Подставим коэффициент $a=12$ и найденные корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$12x^2 - x - 1 = 12(x - \frac{1}{3})(x - (-\frac{1}{4})) = 12(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{4})$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, разложим старший коэффициент $12$ на множители $3$ и $4$ и внесём их в соответствующие скобки:
$12(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{4}) = (3 \cdot (x - \frac{1}{3})) \cdot (4 \cdot (x + \frac{1}{4})) = (3x - 1)(4x + 1)$.

Ответ: $(3x - 1)(4x + 1)$