Номер 4, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9}$;

2) $\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2}$.

1)

Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9}$ необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 6x - 27$. Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1$, $b=-6$, $c=-27$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 27 = (x-9)(x-(-3)) = (x-9)(x+3)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 + 6x + 9$. Это выражение является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = \frac{x-9}{x+3}$.
Сокращение возможно при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Ответ: $\frac{x-9}{x+3}$

2)

Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2}$ необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 4x$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - 4x = x(x-4)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $20 - x - x^2$. Для удобства запишем его в стандартном виде $-x^2 - x + 20$. Найдем корни уравнения $-x^2 - x + 20 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $x^2 + x - 20 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1$, $b=1$, $c=-20$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Разложение квадратного трехчлена $-x^2 - x + 20$ имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=-1$.
Следовательно, $-x^2 - x + 20 = -(x-4)(x-(-5)) = -(x-4)(x+5)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2} = \frac{x(x-4)}{-(x-4)(x+5)} = \frac{x}{-(x+5)} = -\frac{x}{x+5}$.
Сокращение возможно при условии, что $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

Ответ: $-\frac{x}{x+5}$